Matematyka.pl

Prawdopodobieństwo sukcesu w jednym rozdaniu w grze trzy karty wynosi p=0,02. Ile razy trzeba zagrać, aby prawdopodobieństwo otrzymania przynajmniej jednego sukcesu wynosiło ponad 30% ? Próbuję rozwiązać to zadanie, ale nawet nie wiem czy dobrze zacząłem. Zakładam, że można wykorzystać do tego rozkł...

\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{dx}{x}}\)

Aby obliczyć tą całkę podstawiałem \(\displaystyle{ t^2 = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\), ale wówczas wyrażenie bardzo się rozwija i ciężko to policzyć.
Jest to dobre podstawienie i brnąć w to dalej czy jest inna metoda/podstawienie?

Przekształcenie działa, aczkolwiek moje wyglądało następująco:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x-5} + \sqrt{x-7}} = \frac{\sqrt{x-5} - \sqrt{x-7}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x-5} + \sqrt{x-7}}}\)
Jak rozwiązać tą całkę? Podstawienia, takie jak \(\displaystyle{ x-5=t^2}\) czy \(\displaystyle{ x-7=t^2}\) nie działają.

\(\displaystyle{ \int \frac{2x+ 1}{(x^2 +1)^2} dx}\)
Jak podejść do tej całki?
Próbowałem rozłożyć do postaci \(\displaystyle{ \int\left( \frac{Ax+B}{(x^2 + 1)^2} \cdot \frac{Cx + D}{x^2 +1} \right)dx}\) obliczając A, B, C, D, ale skraca mi się to z powrotem do postaci wyjściowej. Jakiś pomysł?

Poprawna wersja:
\(\displaystyle{ w = \frac{e^{2x + 5}}{5} \sqrt{\sin{2x}} + \frac{[x]}{z}}\)

Brakuje jednego nawiasu zamykającego.

Od siebie dorzucę:

Racja, już poprawione. W książce jest małym druczkiem napisane, że w rozwiązaniach pominięta jest stała C. Dzięki za podpowiedź z wyłączeniem przed nawias, niby oczywiste ale jakoś na to nie wpadłem. Nadal intryguje mnie kwestia poprawnego rozwiązania tej całki. Jest drobna rozbieżność, gdyż z moich...

A może jest jeszcze inny sposób na rozwiązanie tej całki? W książce odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{3}{5}(x-4)\sqrt[3]{(x+1)^2} + C}\)
Jak dojść do takiej postaci?

Moje obliczenia: \int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \left| \begin{array}{c} x + 1 = t^3 \\ dx = 3t^2 dt \\ x = t^3 - 1 \end{array} \right| = \int \frac{t^3 -2}{t} 3t^2dt =3 \int (t^4 - 2t) dt = \\ =3(\frac{1}{5} t^5 - t^2) + C = \frac{3}{5} t^5 - 3 t^2 + C = \frac{3}{5}(x+1)^\frac{5}{3} - 3(x+1)^\fr...

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}} dx}\)

Jakie podstawienie wykorzystać do obliczenia tej całki? Czy \(\displaystyle{ t = x + 1}\) będzie dobrym podstawieniem? Próbowałem je wykorzystać, ale nie doprowadza mnie ono do poprawnej odpowiedzi.

Rozwiązałem całkę \(\displaystyle{ \int \frac{x^2 dx}{a^3 + x^3}}\) przez podstawienie.
Moim rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \ln{|a^3 + x^3|} + C}\)
Czy w wyniku powinna być wartość bezwzględna i dlaczego tak/nie?

Mam poniższe równanie:

\(\displaystyle{ 0 = x - 2\arctan{x}}\)

Jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = 0}\), jednakże są jeszcze dwa pozostałe. Czy można jest w jakiś prosty sposób wyznaczyć?
Dzięki za wszelką pomoc.

Oblicz granicę funkcji: \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\right) Próbowałem to obliczyć z reguły de l'Hospitala wcześniej przekształcając do postaci: \lim_{x\to0} \frac{\sin^2x - x^2}{x^2 \sin^2 x} jednakże nie doszedłem do rozwiązania, gdyż to wyrażenie bardzo się rozwija. Je...