Matematyka.pl

Oblicz sobie wartość drugiej pochodnej tej funkcji we wszystkich trzech miejscach zerowych pierwszej pochodnej i sprawdź jej znak korzystając z odpowiedniego twierdzenia. Wtedy nie będziesz musiał męczyć się rozpracowując jaki znak ma pierwsza pochodna w tych przedziałach...

Mamy dużo niewiadomych i wygląda na to, że trzeba tu rozważyć kilka przypadków szczególnych, na przykład takie:

\(\displaystyle{ 1) \ a=0 \vee c=0 \Rightarrow d= \pm |b|}\)

\(\displaystyle{ 2) \ b^2-4ac \ge 0 \Rightarrow c \ge \frac{b^2}{4a} \Leftrightarrow a \in \{-1,-2,...\}, d=...}\)

...

1) Równanie ogólne płaszczyzny to Ax+By+Cz+D=0 i wtedy wektor n=[A \ B \ C] jest wektorem prostopadłym do niej. W tym zadaniu trzeba znaleźć równanie płaszczyzny, której wektor normalny n=[A \ B \ C] jest prostopadły do wektorów normalnych dwóch danych płaszczyzn, tj. n_{1}=[2 \ 0 \ -1] \ n_{2}=[0 \...

To już raczej geometria różniczkowa. Równanie parametryczne stycznej do krzywej danej parametrycznie w przestrzeni:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x(t)= x(P)+x'(P) \cdot t
\\
y(t)= y(P)+y'(P) \cdot t
\\
z(t)= z(P)+z'(P) \cdot t
\end{cases}}\)

Wektor styczny w punkcie P: \(\displaystyle{ [x'(P) \ y'(P) \ z'(p)]}\)

Z bezpośrednich definicji trygonometrycznych funkcji zespolonych opartej o zespolony szereg Taylora byłoby to trudniejsze ale można to zrobić prościej. Mianowicie da się łatwo wyprowadzić ze wzoru Eulera zależności: \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ \cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} Korzystają...

Równanie tej ćwiartki okręgu na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ z=e^{i t}}\)

Wzór ogólny na obliczanie takich całek: \(\displaystyle{ \int_{AB} f(z)dz = \int_{t_{0}}^{t_{k}}f(z(t)) \cdot z^{'}(t)dt}\)

Jak całkujesz przez podstawienie to wypadałoby i przeliczyć nowe granice przedziału całkowania...

1) Oblicz pochodne jednostronne w zerze, które będą różne i stąd wniosek, że pochodna w zerze dla tej funkcji nie istnieje.

2) Dostajesz: \(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \sqrt{\Delta x} }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 1}{ \sqrt{\Delta x}}}\)

Gdyby to wszystko uprościć to powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{2 x}{(x^2+1) \sqrt{x^2-3}}}\)

Z każdego równania układu poza ostatnim wynika, że: \lambda = -2a_{i}x{i} \Rightarrow - \frac{\lambda}{2 a_{i}^2}= \frac{x_{i}}{a_{i}} Podstawiając te zależności do ostatniego równania układu dostajemy: \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{a_{i}}= - \sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda}{2 a_{i}^2} = 1 Po elementarny...

Wystarczy powołać się na tw. Cayley'a-Hamiltona!

Rozwiązanie równania macierzowego \(\displaystyle{ A \cdot x = b}\) "przenosi" wektor b do bazy A, w której ma on współrzędne zawarte w wektorze x. Wektor x oblicza się ze wzoru: \(\displaystyle{ x = A^{-1} \cdot b}\)

Funkcje zespolone to po prostu wygodny sposób analizy par funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. Jeśli bowiem za argument takiej funkcji podstawi się liczbę z=x+iy to wtedy licząc wartość funkcji zespolonej dostaniemy: f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \Rightarrow u(x,y)= \Re f(z) ,\ v(x,y)= \Im f(z) Tera...

Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a: L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot g(x,y) = x+y+\lambda(e^{x+y}-xy-1) Potem obliczamy punkty stacjonare tego lagrangianu rozwiązując układ równań otrzymany z warunku: \nabla L = 0 W tym przypadku punkt stacjonarny ma współrzędne (0,0,-1) . Trzeba więc spra...