Matematyka.pl

Teza jest równoważna z: L = \frac{y+v}{x+y+u+v} \ge (\frac{x}{x+u})(\frac{y}{x+y})+(\frac{u}{x+u})(\frac{v}{u+v}) = P .Zauważmy, że f(t)=\frac{t}{t+1} na przedziale (0;+\infty) jest wklęsła. Niech a=\frac{x}{x+u} , b=\frac{u}{x+u} .
Oczywiście a+b=1 . Z nierówności Jensena:
P=af(\frac{y}{x})+bf ...

Niech \angle BAC=\alpha , \angle ABC=\beta , \angle BCA=\gamma .
Łatwo zauważyć, że punkty A,B,D,E są współokręgowe, stąd \angle BED=\angle BAD=90^\circ - \beta . Stąd \angle EBQ=\beta=\angle ABC , czyli \angle DBQ=\angle EBA . Wiemy jednak, że \angle DBQ=\angle EBA=90^\circ - \alpha . Stąd \angle ...