Matematyka.pl

Pokazać, że każde ciagłe, wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zwartej przestrzeni S na przestrzeń Hausdorffa T jest homeomorfizmem. Wywnioskować stąd, że żadna przestrzeń zwarta X nie dopuszcza istnienia słabszej topologii Hausdorffa.

Sprawdzić czy \(\displaystyle{ U}\) jest topologią i czy jest przestrzenią Hausdorffa, gdzie do \(\displaystyle{ U}\) należą takie \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ X \setminus A}\) - skończony lub \(\displaystyle{ A}\)-pusty. (dla \(\displaystyle{ X}\) nieskończonego).
Proszę o pomoc.
Zadanie z egzaminu;(

Udowodnić, że
a) \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\) nie jest zwarty
b) podzbiory otwarte (przedziały) w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{1}}\) nie są zwarte

Dzięki

Udowodnić, że : a) \mathbb{R} jest przestrzenią spójną b) dowolny przedział w \mathbb{R} jest przestrzenią spójną c) \mathbb{R}^{n} jest przestrzenią spójną d) \mathbb{R}^{n} bez zera jest przestrzenią spójną To zadania, które mogą trafić się na poprawie;/ Dlatego proszę o pomoc;( Z góry dziękuję.

Proszę o pomoc w udowodnieniu Twierdzenia: Zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawarty w \(\displaystyle{ X}\) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty i ograniczony.
Z góry dziękuję za pomoc