Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ (-1)^{n+1}}\) ma dokładnie dwa punkty skupienia, mianowicie \(\displaystyle{ \{-1,1\}}\). Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ \tfrac{1}{n+1}}\) jest zbieżny do zera, zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest domknięty bo zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Jako zbiór ograniczony na prostej, jest on zwarty.

Każde dwie normy są równe na wektorze zerowym, więc o silnej nierówności nie może być mowy. Ponadto, nierówność \(\displaystyle{ \|\cdot\|_1\leqslant \|\cdot\|_2}\) nie wystarcza równoważności norm.

fon_nojman pisze:
Czy takie rozumowanie da się przenieść na dowolną przestrzeń lokalnie wypukłą?

Tak, ponieważ działa tam twierdzenie Hahna-Banacha.

Załóżmy, że taka podgrupa istnieje. Wówczas jej domknięcie też jest (właściwą) podgrupą bo działanie * jest ciągłe, tzn. G jest https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_topologiczna . Jednak przedział (jednostronnie) domknięty nie może być grupą topologiczną (z żadnym działaniem) bo nie jest https://pl.w...

Ładnym twierdzeniem jest fakt, że suma wstępującego ciągu \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał podzbiorów tej samej przestrzeni nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.

Nie jest to prawda. Istotnie, weźmy dwie funkcje niezerowe z \(\displaystyle{ BV[0,1]}\) o (prawie) rozłącznych nośnikach, tj. o tej własności, że \(\displaystyle{ fg=0}\). Łatwo to dowodzi, że Twój wzór nie może być prawdziwy.

\(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ -X}\).

Jako cała przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) jest on domknięty. Czy płąszczyzna jest ograniczona?

Proszę uprzejmie. Istotnie nie jest to zbiór ograniczony.

Dopełnienie tego zbioru to

• \(\displaystyle{ (-\infty, 0)=\bigcup_{n=1}^\infty (-n, 0).}\)

Zgaduję, że masz na myśli zbiór \(\displaystyle{ [0,10] imes [0,10] imes [0,infty)}\). Zbiór ten jest domknięty w \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\) jako iloczyn kartezjański zbiorów domkniętych.

Rozważmy funkcję F\colon [0,1]\times K \to \mathbb R daną wzorem F(t,x) = x(t) + x(1-t). Zauważmy, że jest to funkcja ciągła. Pokażemy, że nasza funkcja f(t) = \min_{x\in K}F(t,x) jest również ciągła. Niech zatem (t_n)_{n=1}^\infty będzie ciągiem punktów z [0,1] zbieżnym do pewnego t . Ponieważ funk...

Arst pisze:No dobra, więc przykład który podałem okazał się nietrafiony -.- To może taka funkcja: \(\displaystyle{ \phi (t)=e^{-|t|}}\) (funkcja charakterystyczna rozkładu Cauchy'ego). Jak dla niej zbadać dodatnią określoność?

Dla tych co zabłądzili w Google:

432139.htm

W zadaniu 1, w części b) łatwo odgadnąć, że rozważana funkcja jest funkcją charakterystyczną standardowego rozkładu normalnego (a więc jest to funkcja charakterystyczna ciągłej zmiennej losowej). Co do części a), to z https://books.google.cz/books?id=evbGTPhuvSoC&pg=PA118&dq=polya%27s+criter...

plamaster pisze: Więc jak to zapisać, czy da się to ująć w jakiś mat. wzór czy w tym przypadku trzeba opisać słownie?

• \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \{X\subseteq \mathbb R\colon {\rm card}\, X \leqslant \aleph_0 \text{ lub } {\rm card}\, \mathbb{R}\setminus X \leqslant \aleph_0\}.}\)