Matematyka.pl

darek20 - odpowiedź jest prawidłowa. Gratulacje dla pyzola , który jako jedyny nadesłał prawidłowe rozwiązanie. Oto ono:
Cóż odpowiem na apelację administratora. Ostatni post zmobilizował mnie, żebym do tego przysiadł. O ile dobrze zrozumiałem zadanie (i ile ) to nie wygląda tak strasznie i dziwi ...

W ośmiu pudełkach znajduje się po sześć piłek. Każda z piłek jest pokolorowana jednym z n kolorów. W każdym pudełku znajdują się różnokolorowe piłki oraz żadna z par kolorów nie występuje więcej niż w jednym pudełku. Wyznacz najmniejszą liczbę kolorów spełniającą warunki zadania (i pokaż przykład ...

Pierwsze rozwiązanie:

(może jeszcze nie jest za późno )
Zauważmy, że dla k=n+1, n+2, ... 2n mamy:
k \ge 2 więc po wymnożeniu tego dla k=n+1, n+2, ... 2n mamy:

\frac{(2n)!}{n!}=2n \cdot (2n-1)...(n+1) \ge 2^n

Stąd 2^n \cdot n! \le (2n)! , czyli
2^n \cdot n! \le 1\cdot 2 \cdot... \cdot(2n)\le ...

Niech \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m}\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi, takimi, że \(\displaystyle{ n \le m}\). Pokaż, że zachodzi:
\(\displaystyle{ 2^n n! \le \frac{(m+n)!}{(m-n)!} \le (m^2+m)^n}\)

Czy można "pokolorować" wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste dziesięcioma kolorami w ten sposób, aby pary liczb różniących się w swojej reprezentacji dziesiętnej na dokładnie jednym miejscu miały różne kolory?

ps. Nie bierzemy pod uwagę liczb, które od pewnego miejsca mają same dziewiątki, np. 0 ...

Udowodnij, że:

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \pi x }{e^{2\pi\sqrt{x} }-1} \, \mbox d x=\frac{2-\sqrt{2}}{8}\]

Nowe zadanie

Dany jest pewien czworościan c, na którym opisano sferę s . \alpha, \beta, \gamma, \delta są płaszczyznami stycznymi do tejże s , w odpowiednich wierzchołkach c , tj punktach A, B, C, D, przy czym \alpha \cap \beta=p , i \gamma \cap \delta=q . Wykaż, że jeśli proste p i CD nie są ...

Niech g_n oznacza liczbę takich podzbiorów zbioru \{1,2,...,n\} , które nie zawierają żadnych dwu kolejnych liczb naturalnych. Na przykład g_3 = 5 , gdyż zbiorami o żądanej własnosci sa zbiór pusty, zbiory jednoelementowe oraz \{1,3\} . Sprawdzić, czy prawdziwa jest tożsamość:
g_n=2^n-\sum_{k=2}^{n ...

Pokaż, że dla dowolnego czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\) o objętości \(\displaystyle{ V}\) zachodzi:

Można przyjąć definicję, iż liczba wymierna v>0 "ma dwoje dzieci": v+1 i \tfrac{v}{v+1} .
Wykazać, że dowolna liczba wymierna v>0 jest potomkiem liczby 1 (i to na jeden jedyny sposób).

Np. Liczba v=2 ma dzieci: 3, \tfrac{2}{3} ; czwórkę wnucząt: 4, \tfrac{3}{4}, \tfrac{2}{5} , \tfrac{5}{3} itd.

Problem Tygodnia - Regulamin

W każdy poniedziałek dodawany będzie temat z aktualnym Problemem Tygodnia.
Rozwiązanie może podać każdy użytkownik forum poprzez Prywatną Wiadomość do użytkownika Liga .
Nadesłane rozwiązania zostaną opublikowane do tygodnia od daty nadesłania.
O poprawności ...

Konkurs dobiegł końca, prace zostały sprawdzone. Oto wyniki II edycji konkursu matematyka.pl:


Kategoria I - gimnazjum

1 miejsce - KPR
2 miejsce - nobuddy
3 miejsce - JaQb


Kategoria II - liceum

1 miejsce - jgarnek
2 miejsce - timon92
3 miejsce - limes123


Kategoria III - otwarta

1 ...

Zadanie 2
Google nie podpowiadają czym jest estymator największego prawdopodobieństwa, przyjmijmy więc, że chodzi o estymator najefektywniejszy.

Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(\mu , 1) oraz niech (X_i)_{i=1}^{n} będzie ciągiem zmiennych losowych, z których i -ta przyjmuje wartość 1 ...

1.
Ponieważ obrazem zbioru \mathbb R w funkcji f jest przedział \langle 0, +\infty) , to dla każdego a \in \langle 0, +\infty) istnieje takie x \in \mathbb R takie, że f(x)=a . Wtedy, zgodnie z warunkami zadania mamy f(a)=f(f(x))=f(x)=a . Ponieważ a jest dowolną liczbą nieujemną, to dla dowolnego x ...

Zadanie 1
Z warunku (1) dla dowolnego a nieujemnego istnieje takie b, że:
f(b)=a
Z powyższego oraz z warunku (2):
f(a)=f(f(b))=f(b)=a
Dla a nieujemnych. Z warunku (3):
f(a)=f(-a)=-a dla a ujemnych. Czyli:
f(x)=\begin{cases} x \ dla \ x \ge 0 \\-x \ dla \ x<0 \end{cases}
Oczywiście tą ...