Matematyka.pl

Wykaż metodą indukcji, że dla n\in \mathbb{N} liczba m_n=3^{2n+1}+40n-67 jest podzielna przez 64. Potem uzasadnij, że gdy n jest nieparzyste, to m_n dzieli się przez 5. Rozwiązanie: Najpierw sprawdzenie dla n=0 : m_n=3^{2\cdot 0+1}+40\cdot 0-67=3^1-67=-64 Czyli dla n=0 64|m_n . Załóżmy, że dla pewn...

m_{n}=3^{2n+1}+40n-67, n\in\mathbb{N} \bigwedge\limits_{n\in\mathbb{N}} [ 64| m_{n} \bigvee\limits_{x \mathbb{C}} m_n=64x ] Dowód przeprowadzam z wykorzystaniem zasady indukcji matematycznej. 1) Niech n_0=0 L=m_0=3-67=-64 P=64x -64=64x x=-1,x\in\mathbb{C} L=P 2)Wykażę, że \bigwedge\limits_{k\in\mat...

Niech x będzie wysokością danego stożka w dm . Wówczas kwadrat promienia podstawy wynosi r^2=2^2-x^2=4-x^2 , a objętość V stożka: V(x)=\frac{\pi}{3}(4x-x^3) , gdzie x\in (0,2) V'(x)=\frac{\pi}{3}(4-3x^2) V'(x)=0 \iff x=\frac{2\sqrt{3}}{3} . V ma w tym punkcie maksimum ponieważ V' zmienia znak z &qu...

1. Sprawdzenie dla n=1 : m_1=3^3+40-67=0 , co jest podzielne przez 64. 2. Załóżmy, że 64|m_{n} dla pewnego n\in \mathbb{N} . Ponieważ: m_{n+1} = 3^{2n+3}+40(n+1)-67 = 9 3^{2n+1}+360n-9 67 - 320n+40+8 67 = 9(3^{2n+1}+40n-67)-320n+9 64=9m_{n}-64(5n-9) więc także 64|m_{n+1} co kończy dowód kroku induk...

Dziedziną funkcji f jest (0,\infty) , a jej pochodna wynosi: f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x} a. Z warunku f(1)=2 mamy A+1=2 , skąd A=1 . Zaś z f'(1)=4 wynika, że 3+B=4 , czyli B=1 . b. Funkcja f ma ekstrema w punktach x=1 oraz x=2 , więc liczby 1 i 2 są miejscami zerowymi f' : \begin{cases} 2A+1+B=0\\4A+1+...

Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej 2\mbox{dm}. Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa? Rozwiązanie: Dane: l=20[cm] - tworząca stożka Szukane: V=? - objętość stożka Przyjmijmy: r - promień podstawy stożka H - wysokość stożka V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdo...

dziewięć pozostałych liczb ma w sumie co najmniej 3 29 = 87 , więc największa ma najwyżej 13 . Z drugiej strony same dziesiątki w kole świadczą o tym, że przy optymalnym ułożeniu ma ona co najmniej 10 . Wystarczy zbadać, czy może być 11, 12, 13 . Ułożenie: 9,11,10,\dots, 10 świadczy o tym, że może ...

niech h wysokość lejka, r -promień podstawy lejaka wtedy r=\sqrt{4-h^2} dla h należącego do przedziału (0,2) Zatem objętość lejka to V(h)=\frac{1}{3}\pi (4-h^2)h V'(h)=\frac{1}{3}\pi (-3h^2+4) V'(h)=0 wtedy gdy h=\frac{2}{\sqrt{3}} lub h=-\frac{2}{\sqrt{3}} drugą możliwość odrzucamy gdyż nie spełni...

sprawdzamy wrunek dlq n=1 wtedy m_n=0 więc jest podzielne przez 64 zakładamy ze m_n jest podzielne przez 64 dla n-naturalnego zatem istnieje t calkowite takie że 3^{2n+1}+40n-67=64t wykażemy teraz że m_n jest podzielne przez 64 dla n+1 zatem korzystając z założenia mamy 3^{2n+3}+40n-27=9*3^{2n+1}+4...

a) dziedzina funkcji f to x>0 obliczamy pochodną f'(x)=2Ax+1+\frac{B}{x} tworzymy układ f(1)=2 f'(1)=4 zatem A=1 i B=1 b) f'(x)=\frac{2Ax^2+x+B}{x} skoro funkcja f ma miec eksterma w punktach 1 i 2 to f'(1)=0 i f'(2)=0 stad A=-\frac{1}{6} B=-\frac{2}{3} c) aby funkcja była rosnąca w całej dziedzini...

Na okręgu umieszczono 10 liczb rzeczywistych x_{j} o sumie równej 100 ale tak, że po dodaniu dowolnych trzech kolejnych z nich, otrzyma się co najmniej 29. Niech a to będzie maksimum spośród wszystkich x_{j}. Znajdź możliwie największa wartość a. Rozwiązanie: Ponieważ suma trzech kolejnych z nich w...

Bez utraty ogólności załóżmy, że a=x_{10} . Z treści zadania wynika, że: x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant 29 x_{4}+x_{5}+x_{6}\geqslant 29 x_{7}+x_{8}+x_{9}\geqslant 29 Dodając te nierówności stronami otrzymujemy: 100-a\geqslant 87 Skąd a\leqslant 13 . Przyjmując x_{1}=x_{3}=x_{4}=x_{6}=x_{7}=x_{9}=8 ora...

a) Wyznaczamy stałe A i B z warunków zadania f(1) = 2 \iff A + 1 + B \cdot 0 = 2 \iff A = 1\\ f'(x) = 2Ax + 1 + \frac{B}{x} \ \ \mbox{i} \ \ A = 1 \Rightarrow f'(x) = 2x + 1 + \frac{B}{x}\\ f'(1) = 4 \iff 2 + 1 + \frac{B}{1} = 4 \iff B = 1 Stąd (A,B)=(1,1) . b) Przyrównujemy pochodne w danych punkt...

Na początku chciałbym zauważyć, iż w treści zadania powinno być n \mathbb{N}_+ , gdyż jak nie trudno sprawdzić, dla n=0 uzyskujemy sprzeczność. Spr. dla n_0 = 1 : m_1 = 3^{2 + 1} + 40 - 67 = 67 - 67 = 0 0|64 T(n_0 = 1) Zał. T(k): \ 3^{2k+1} + 40k - 67 = 64s, s \mathbb{C} Teza T(k+1): \ 3^{2(k+1) + ...

Niech l oznacza tworzącą stożka, h jego wysokość, a r promień podstawy. Powyższe wielkości są ze sobą powiązane wzorem: l^2 = r^2 + h^2 \quad (*) Objętość lejka wynosi: V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{3} (l^2 - h^2) h gdzie r^2 wyliczyliśmy z równania (*). Obierając teraz funkcję V argumentu...