Matematyka.pl

na początek przypomij sobie wzory na pochodną funkcji złożonej, potem pochodną \(\displaystyle{ \ln (x), \arc \tan (x), \sqrt{x}}\)

zerowac moze sie tylko licznik, a tam masz funcje kwadratowa ktora ma maksymalnie dwa pierwiastki, wiec ta funkcja nie moze miec wiecej niz dwa ekstrema

wpisz tutaj pochodna jaka wylliczyles

chyba masz jakies błędy, to ma być w końcu funkcja jednej czy dwóch zmiennych?
Jeśli dwóch to powinno być \(\displaystyle{ f(x,y)}\) i kwadrat jako dziedzina

a jakieś uzasadnienie?

twierdzenia de'Hospitala czyli jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, \, lub\,\, \frac{\infty}{\infty}}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
czyli liczymy granice ze stosunku pochodnych licznika i mianownika

tabelka bedzie jeszcze przydatna, no chyba ze miales druga pochodna i chcesz zbadac wypukłosć

luz

masz dobrze wyciągnij 4 spod pierwiastka i ci sie skrócą dwójki

\(\displaystyle{ 2x^2+2x-4=0 \Rightarrow 2(x^2+x-2)=0 \Rightarrow x^2+x-2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 1-4\cdot (-2) = 1+8=9 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=3}\)

\(\displaystyle{ x_1=\frac{-1-3}{2}= -2 \\ x_2=\frac{-1+3}{2}=1}\)

liczysz pierwiastki pochodnej czyli licznika pochodnej, bo mianownik nie może być zero, rysujesz wykresik i patrzysz jak zmienia znak przy przechodzeniu przez miejsce zerowe ,jeśli z - na + to minimum lokalne, jesli z + na - to maximum lokalne

pochodną wygląda na to ze dobrze masz, teraz z \(\displaystyle{ \Delta}\) liczysz miejsca zerowe i badasz znak pochodnej , pamiętając że \(\displaystyle{ (x+1)^2 \geqslant 0}\) więc na znak wpływa tylko licznik pochodnej, i popraw te granice w nieskończoności


jasne że minus dwa, pomyliłem się

wszystko źle \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} \frac{4-2x}{x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(4\frac{4}{x} - 2)}{x(\frac{1}{x}+})1=|| x \, sie \, skraca || =\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{4}{x} - 2}{\frac{1}{x}+1} funkcja \frac{1}{x} \to 0 gdy x \to \pm \infty więc nasza granica \lim...

zeby wpisać np \(\displaystyle{ f=x^2+\frac{1}{x}}\) trzeba napisać dokładnie: dużo informacji znajdziesz tutaj https://matematyka.pl/latex.htm

potem trzeba roziązać równanie \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) i sprawdzić czy w miejscach zerowych pochodna zmienia znak, wpisz tu wszystko to zobaczy czy masz dobrze i CI pomogę