Matematyka.pl

Słaba forma młodych talentów, dali im dzień wcześniej zadanka i skminili po jednym....

Zwardoń 2008.

Jest to konsekwencja Twierdzenia Chińskiego o resztach.

Dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a _{1}}\), \(\displaystyle{ a _{2}}\)... \(\displaystyle{ a _{2n+1}}\) maja następującą własność po usunięciu liczby \(\displaystyle{ a _{i}}\) \(\displaystyle{ (i \in \left[ 1,...2n+1\right])}\) resztę możemy podzielić na da równoliczne zbiory o mocy \(\displaystyle{ n}\) które posiadają tę samą sumę elementów. Pokaż, że wszystkie liczby są równe.

Niech: f _{i}(x) = \begin{cases}1 \text{ dla } x \in \left[ 0,a_{i} \right] \\ 0 \text{ dla } x >a _{i} \end{cases} oraz g _{i}(x )= \begin{cases}1 \text{ dla } x \in \left[ 0,b _{i} \right] \\ 0 \text{ dla } x >b_{i} \end{cases} i niech f(x)= \sum_{i=1}^{n}f _{i} \left( x\right) i g(x)= \sum_{i=1}^...

Na początek lemat ( w zasadzie będziemy korzystać tylko z pewnego faktu użytego do dowodu lematu, lecz ten lemat sam w sobie jest interesujący i warto o nim wspomnieć) Dany jest czworokąt ABCD opisany na okręgu o środku w I . Punkt X jest rzutem I na BD . Wówczas prosta BD jest dwusieczną kąta AXC ....

Pozwolę sobie wrzucić inny dowód ostatniego zadania: Łatwo się domyślić iż wystarczy pokazać ze okręgi opisane na C _{1}HC _{2} , A _{2}HA _{1} , B _{2}HB _{1} mają wspólną oś potęgową. Rozważmy parabolę dopisaną do czworokąta AB _{2}HC _{1} . Prosta BC wraz z punktem A tworzą trójkąt ABC o ortocent...

Interpolujemy wielomian \(\displaystyle{ f(x)=x^n}\) porównujemy współczynniki przy \(\displaystyle{ x^n}\).

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k=0}^{n}f(k) \prod_{j \neq k}^{} \frac{x-k}{k-j}}\) rozpisujemy to i porównujemy współczynniki przy \(\displaystyle{ x^n}\).

(nie lubię kombinatoryki)

Niech prosta k i BC przecinają sie w punkcie X . Niech o _{1} i o _{2} będą styczne do okręgu opisanego na ABC w punktach Y , Z . Wówczas korzystając z twierdzeń o złożeniach jednokładności otrzymujemy iż, X , Y , Z sa wspóliniowe. Wiadomo iż punkt X jest srodkiem inwersyjnym okręgu o _{1} na o _{2}...

Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) oraz zbiory liczb naturalnych \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ \subseteq \left[ 0,n\right]}\) takie że \(\displaystyle{ \left| A\right|+\left| B\right| \ge n+2}\). Pokaż, że istnieją takie \(\displaystyle{ a \in A}\) i \(\displaystyle{ b \in B}\) , że \(\displaystyle{ a+b}\) jest potęgą dwójki.

Niech prosta AI przecina CD w punkcie X . Będziemy chcieli jakoś ,,fajnie' obliczyć stosunek \frac{BA'}{A'E} aby stosując podobne rozumowanie dla pozostałych 4 stosunków wszystko sie pięknie poskracało. Szczęśliwie nie jest to trudne: \frac{BA'}{A'E}= \frac{P _{BIA'} }{P _{EIA'} }= \frac{BI}{EI} \cd...

Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) takie że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) mamy:

\(\displaystyle{ f(x^3 + x) \le x \le (f(x))^3 + f(x)}\)

Należy pobawić się ze środkiem spiralnego podobieństwa.
Należy rozpatrzeć środek spiralnego podobieństwa trójkątów ABC i DEF a następnie zauważyć iż iż ten nowo powstały trójkąt, jest obrazem ABC w spiralnym podobieństwie względem tego samego środka spiralnego.

Przypuśćmy że \(\displaystyle{ m \ge k \ge 2}\) i \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ m}\). Pokaż, że w każdym ciągu liczb naturalnych długości \(\displaystyle{ m+k-1}\) istnieje podciąg długości \(\displaystyle{ m}\) o sumie wyrazów podzielnej przez \(\displaystyle{ k}\).

Początek podobny do mojego, koniec troche inny:)