Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \tg 80^{\circ}=\frac{1}{\tg 10^{\circ}}}\)
Później wymnażasz nawiasy, podstawiasz \(\displaystyle{ \tg 10^{\circ} =\frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}}\) i sprowadzasz do wspólnego mianownika.

Tam powinno być \(\displaystyle{ (n+1)a^n}\)
\(\displaystyle{ 1+2a+3a^2+4a^3+...+(n+1)a^n=\\=(1+a+a^2+...+a^n)+(a+a^2+...+a^n)+...+(a^{n-1}+a^n)+(a^n)=...}\)

albo mam lepszy pomysł:
\(\displaystyle{ 1+2a+3a^2+4a^3+...+(n+1)a^n=\\=(a)'+(a^2)'+(a^3)'+...+(a^{n+1})'=...}\)

Udowadniasz tę nierówność analogicznie do poprzednich.

mc_piter pisze:\(\displaystyle{ (f_{n-1})^{2} + f_{n} = (f_{n+1})^{3}\\
2ln (f_{n-1}) + ln(f_{n}) = 3ln(f_{n+1})}\)

\(\displaystyle{ \log{(a+b)}\neq\log{a}+\log{b}}\)

252218.htm

chodziło ci chyba o \(\displaystyle{ 8^{3}+8^{13}+8^{25}+8^{30}}\)
\(\displaystyle{ 8^{3}+8^{13}+8^{25}+8^{30}=2^{9}+2^{39}+2^{75}+2^{90}=2^{4\cdot 2 + 1}+2^{4\cdot 9+3}+2^{4\cdot 18+3}+2^{4\cdot 22+2}\equiv\\\equiv 2+8+8+4\equiv2 \;(mod\; 10)}\)

Sumujesz stronami i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ (n+1)S=\frac{n(n+1)}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ S= \sum_{i=1}^{n}x_i}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{n}{2}\\
S+x_i=n+1-i}\)
stąd
\(\displaystyle{ x_i=\frac{n}{2}-i+1}\)

Jeśli 3 są nieparzyste wtedy S=1^3+3^3+5^3 + a_{4}b_{4}c_{4}+a_{5}b_{5}c_{5}+a_{6}b_{6}c_{6} . a dlaczego nie np. S=1\cdot3\cdot5+1\cdot1\cdot5+3\cdot3\cdot5 + a_{4}b_{4}c_{4}+a_{5}b_{5}c_{5}+a_{6}b_{6}c_{6} ? ja bym zapisał tak: S= a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3}+ a_{4}b_{4}c_{4}+a...

\lim_{n\to\infty}\left( \frac{n^2+4n+5}{n^2+2n+3}\right)^{3n+2} = \lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac{2n+2}{n^2+2n+3}\right)^{3n+2}= \lim_{n\to\infty}\left( \left( 1+\frac{1}{\frac{n^2+2n+3}{2n+2}}\right)^{\frac{n^2+2n+3}{2n+2}}\right) ^{\frac{(3n+2)(2n+2)}{n^2+2n+3}} Teraz korzystasz z lematu: \lim_{n...

W ciągu \(\displaystyle{ 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, ...}\) każdy wyraz począwszy od siódmego jest równy ostatniej cyfrze liczby, będącej sumą sześciu poprzednich wyrazów. Udowodnij, że w tym ciągu nie może wystąpić następujący blok liczb: \(\displaystyle{ 0, 1, 0, 1, 0, 1.}\)