Matematyka.pl

Bardzo przepraszam, po prostu sugerowałem się:
W takim razie wynik po wymazaniu silni jest prawidłowy?

Jeżeli można, druga część zadania każe udowodnić te równania dla potęg przyrastających: x ^{\overline{m+n}}=x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}=x^{\overline{n}}(x-n)^{\overline{m}} Tak więc: x^{\overline{m}}(x-m)^{\overline{n}}= \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \cdot \frac{(x-m+n-1)!}{(x-m-1)!} Tylko czy w ...

przepraszam, wkradł mi się błąd, wyrażenie miało wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)

\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-m)!} \cdot \frac{(x-m)!}{(x-m-n)!}= \frac{x!}{(x-m-n)!} = \frac{x!}{(x-(m+n))!} = x^{\underline{m+n}}}\)
Czy dobrze zrozumiałem wskazówkę?
W takim wypadku trzecie zdanie rozwiązuję w analogiczny sposób.

Proszę pokazać, że przy konwersji pomiędzy potęgami przyrastającymi i ubywają- cymi dla każdej liczby całkowitej m można stosować następujące wzory: x^{\overline{m}}= (-1)^{m}(-x)^{\underline{m}}=(x+m-1)^{\underline{m}}=1/(x-1)^{\underline{-m}} \\ x^{\underline{m}}= (-1)^{m}(-x)^{\overline{m}}=(x+m-...

\(\displaystyle{ x^{\underline{m}} \cdot x^{\underline{n}}=x(x-1)...(x-m+1) \cdot x(x-1)...(x-n+1)=x^{2}(x-1)^{2}...(x-m+1)(x-n+1)}\)
mogę prosić o wskazówkę jak je pogrupować?

Czemu jest równe \(\displaystyle{ 0^{\underline{m}}}\) dla danej liczby całkowitej m?

Proszę pokazać, że dla całkowitych, nieujemnych m i n zachodzi:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}=x^{\underline{n}}(x-n)^{\underline{m}}}\)
a następnie podać i udowodnić analogiczny wzór dla potęg przyrastających.

Proszę znaleźć zwartą postać sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}\frac{ {m \choose k} }{ {n \choose k} }}\)
Proszę o pomoc w rozwiązaniu, ewentualnie wskazówkę

\(\displaystyle{ {-j+rk+s \choose m-j}=(-1)^{m-j} {m-j+j-rk-s-1 \choose m-j}=(-1)^{m-j} {m-rk-s-1 \choose m-j}}\)
Co daje nam:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{m}\left( -1\right) ^{j+1} {r \choose j} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{m-j} {m-rk-s-1 \choose m-j}}\)
Tutaj niestety nie wiem już co robić

\(\displaystyle{ {-1 \choose k}=\left( -1\right) ^{k} {k-1-1 \choose k}=\left( -1\right) ^{k} {k-2 \choose k}= \left( -1\right) ^{k} {k-2 \choose k-2-k}=\left( -1\right) ^{k} {k-2 \choose -2}}\)
co mogę więcej zrobić?

Proszę obliczyć \(\displaystyle{ {-1 \choose k}}\) negując górny indeks.

Proszę znaleźć zwartą postać sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{m}\left( -1\right) ^{j+1} {r \choose j} \sum_{k=1}^{n} {-j+rk+s \choose m-j}}\)
Wskazówka: Zanegować górny indeks w drugim współczynniku dwumianowym.

Proszę o jakąś wskazówkę.

Liczby \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) oznaczają ilość sposobów podziału zbioru n-elemntowego na k nie-
pustych podzbiorów (podzbiorowe liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = k {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}}\)

Proszę o wskazówkę jak rozwiązać zadanie

Dziękuję za pomoc!

Czy mógłbym jeszcze prosić o podpowiedź do tego zadania?
Proszę znaleźć \(\displaystyle{ \pi ^{71}}\), gdzie \(\displaystyle{ \pi}\) jest permutacją z poprzedniego zadania.
Z czego muszę skorzystać?