Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\)- przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ A,B\subset X}\) zwarte podzbiory takie, że \(\displaystyle{ A\cap B= \emptyset}\). Wykazać, że istnieją rozłączne zbiory \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) otwarte w \(\displaystyle{ X}\) takie, że \(\displaystyle{ A\subset U}\) i \(\displaystyle{ B\subset W}\) .

Uzasadnić że zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) przecina zbiór \(\displaystyle{ Q}\) wtw gdy \(\displaystyle{ U}\) przecina domknięcie zbioru \(\displaystyle{ Q}\)

Podać przykład przestrzeni w której żaden punkt nie jest domknięty jako zbiór

Wypożyczyłem ta książke ale nie widze tego dowodu...

chciałbym w obie strony...

Wykazać, że przekształcenie \(\displaystyle{ f : X \to Y}\)jest otwarte wtw gdy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subset Y}\), zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}(d(B)) \subset d(f^{-1}(B))}\) gdzie d() oznacza domknięcie. Prosze o pomoc...