Matematyka.pl

Aa.. sorki
Dzięki bardzo - już wszystko jasne

Pozdrawiam

Ok.. ale skąd takie długości podstaw?
Z rysunku wychodziłoby

\(\displaystyle{ \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \frac{1}{2} \left[ \log \left(r + \frac{1}{2}\right) + \log \left( r - \frac{1}{2} \right) \right]}\)

Witam, proszę o podpowiedź jak zauważyć, że dla r\in\mathbb{N} zachodzi nierówność \int_{r-\frac{1}{2}}^{r+\frac{1}{2}}{\log x \tr{d}x} < \log r ? Dla ustalonego r policzyłem całkę \left(r+\frac{1}{2}\right)\log\left(r+\frac{1}{2}\right) - \left(r-\frac{1}{2}\right)\log\left(r-\frac{1}{2}\right) - 1...

Witam, proszę o pomoc w przeprowadzeniu dowodu indukcyjnego dla sumy funkcji okresowej. Funkcja \alpha\left( \frac{x}{2}\right) + \alpha\left( \frac{x+1}{2}\right) = \alpha (x) określona na zbiorze (0,\infty) , klasy C^1 , okresowa o okresie 1. Podstawiając w równaniu \frac{x}{2} w miejsce x , a nas...

Wielkie dzięki Piotrze.

Pozdrawiam.

po lewej masz wielomian z^n-1 , a po prawej jego rozkład na pierwiastki Czyli wychodząc od z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right), mamy z^n-1=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right),\\ \frac{z^n-1}{z-1}=\prod_...

Dzięki Panowie!

Mając w głowie wczorajszą podpowiedź policzyłem ten moduł dla z=(1-\cos x) - i \sin x. Czy dobrze to zrobilem? \prod_{k=1}^{n-1}\left| 1-\cos \frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}\right|= \prod_{k=1}^{n-1} \sqrt{\left(1-\cos \frac{2k\pi}{n}\right)^2 + \left(\sin\frac{2k\pi}{n}\right)^2} = \\ = \prod_...

Witam, chciałbym prosić o pomoc w odnalezieniu dowodu poniższej tożsamości - może ktoś spotkał w jakiej literaturze, bądź materiałach elektronicznych. \frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right) Jeśli ktoś jest w stanie sam udowodnić oczywiście te...

Witam, czy ktoś wie może, jakie przejścia trzeba wykonać aby przekształcając iloczyn po lewej, dojść do iloczynu po prawej \prod_{k=1}^{n-1}\left| 1-\cos \frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}\right|=\ \ ???\ \ =2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n} ? Czyli co powinno się znaleźć w miejscu "...

Da się wykorzystując \(\displaystyle{ \tg}\).

\(\displaystyle{ x\cos x - \sin x=x\cos x - \cos x \tg x = \cos x (x-\tg x)}\)

Dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) i \(\displaystyle{ x<\tg x}\),
czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca.

Dzięki.
Pozdrawiam.

Jakieś pomysły?

Liczyłem i zatrzymuje się na określeniu znaku licznika

\(\displaystyle{ x \cos x - \sin x}\)

Czy brak miejsc zerowych w przedziale \(\displaystyle{ \left(0;\frac{\pi}{2}\right]}\)
i dodatniość wszystkich składników licznika wystarczają do stwierdzenia,
że funkcja jest rosnąca?

Dzięki miodzio1988!

Witam,
proszę o podpowiedż od czego wyjść chcąc zbadać monotonicznośc funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\)

w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right]}\)?

Sorki, przedział powinien być domknięty z prawej.