Matematyka.pl

To z równoległobokiem nie jest jedynie przypadkiem szczególnym, znaleźć go możemy zawsze w taki sposób:
Narysuj prostą równoległą do AB przechodzącą przez punkt P. Punkt przecięcia tej nowej prostej i prostej AC oznacz przez F. Narysuj kolejną prostą, tym razem równoległą do prostej AC i ...

Oczywiście palazi ma rację, nie można odejmować nieróności stronami, a ta "próba" rozwiązania jest błędna. Pozwolę sobie wrzucić swoje:
Obierzmy na bokach AB, AC odpowiednio takie punkty E, F, że AEPF jest równoległobokiem (zawsze możemy takie wybrać). Zatem: AE=PF, oraz: AF=PE.
Teraz korzystając z ...

W przypadku 3) powinno być na odwrót z parzystością i nieparzystością q. To eliminuje rozwiązanie n=25.

Powinno być chyba dobrze:
Zauważamy na początku, że:
a_n=\epsilon_1^n+\epsilon_2^n+\epsilon_3^n
gdzie epsilony to różne pierwiastki wielomianu:
x^3-x-1=0
(pomijam prosty dowód indukcyjny).
Zauważmy teraz, że:
a_p=\epsilon_1^p+\epsilon_2^p+\epsilon_3^p=\epsilon_1^p+\epsilon_2^p+\epsilon_3^p ...

Co do zadania 4. to takie coś:
\(\displaystyle{ a+d\geq 2\sqrt{ad}=2\sqrt{b^2+bc+c^2}>2(b+\frac{1}{2}c)\geq b+c+1}\)
załatwiało wszystkie przypadki.

Te dwa pola narożne są tego samego koloru, a za każdym ruchem skoczek zmienia kolor pola na którym stoi. Zatem po nieparzystej liczbie ruchów nie może skończyć na polu tego samego koloru.

Tak, rzeczywiście masz rację. Dzięki za wyprowadzenie mnie z błędu.

No tak sądzę... ale jeśli się mylę byłbym wdzięczny, gdybyś mnie poprawił.

Niech: \(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}\)
Łatwo sprawdzić, że: \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}}\)

Na drugim etapie próg jest jednakowy dla wszystkich z całej Polski.

Czy na pewno Czebyszew w tę stronę? Powinno być chyba w drugą Trzeba to inaczej oszacować...

Coś tu chyba jest nie tak, bo przecież:
\(\displaystyle{ y^y\geq (x+1)^{x+1}>x^{x+1}=x\cdot x^x>1^x+2^x+3^x+...+x^x}\)
oczywiście wyłączając przypadek: \(\displaystyle{ x=y=1}\)

Na mocy nierówności Cauchy'ego między średnimi:
a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+m}+nx_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+m}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}\geq \\
\geq m\sqrt[m]{a_{n+1} a_{n+2}... a_{n+m}}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}=(n+m)\cdot \frac{m\sqrt[m]{a_{n+1} a_{n+2}... a_{n+m}}+n\sqrt[n]{a_1 a_2... a_n}}{n+m ...

Zachodzi oczywiście: \(\displaystyle{ \frac{1}{(x+y)^2}\leq \frac{1}{4xy}}\)
i na podstawie tego od razu widać prawdziwość nierówności:
\(\displaystyle{ 4xyz(\frac{1}{(x+y)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}} + \frac{1}{(y+z)^{2}}) q x+y+z}\)

Słuszna uwaga. Niech więc np.: b=d=\epsilon\: \: a+b+c+d=1 Wtedy jest: s(a,\epsilon)=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}=\frac{a}{a+2\epsilon}+\frac{2\epsilon}{1-\epsilon}+\frac{1-a-2\epsilon}{1-a}=2+\frac{2\epsilon}{1-\epsilon}-\frac{2\epsilon}{1-a}
Patrząc na s jako na ...