Matematyka.pl

Dzieki

Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x^2}}\) w szereg MacLaurina z resztą R3.

Pochodna f(x) to 1/x?? Oj, na pewno nie

Osobiście zastosowałbym trochę inną metodę, bo wykres raczej nie może być dowodem. Przenieśmy e^x na prawą stronę. Oznaczmy f(x)=1+x-e^x Teraz musimy udowodnić, że funkcja jest mniejsza bądź równa zero dla R. Liczę pochodną funkcji i zauważam, że w zerze istnieje maksimum tej funkcji. Wynosi ono 0 ...

Nie obustronnie tylko licznik i mianownik rozszerzyć. Przejęzyczyłem się

Jak już to za t kwadrat podstawiać, ale to jest strasznie dużo liczenia. Myślę że da się to inaczej jednak rozwiązać. Może mnożyć obustronnie przez pierwiastek z x+1??

Całka jest dobrze zrobiona, brakuje końcowego podstawienia z t=cosx, z tym że zapis budzi kontrowersje skąd ten +sinx pod znakiem całki w 2 wierszu???? Powinien być znak mnożenia.

Dzięki, to by było pierwsze zadanko, a drugie ?

dokladnie o to

Dziękuję, za rzeczową odpowiedź.

Dążysz do 3 z prawej strony, zatem wartość x-3 będzie trochę powyżej zera. Logarytm naturalny przy x dążącym do 0 to -nieskończoność. Granica 1/-nieskończoność to zero.

Dlaczego ? Ciąg to też funkcja. Wiesz, z granicami to jest tak, że jak masz lim przy n dążącym do nieskończoności 1/n i lim x dążącym do nieskończoności 1/x to granica jest taka sama. W tym przykładzie zastosowałem de l'Hospitala i granica o zdziwko wychodzi ta sama .

\lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}

ciekawe przeksztalcenie ~_^

ogolnie mowiac zeby zastosowac d'hospitala to musza byc spelnione nastepujace warunki
licznik i mianownik daza do zera lub do nieskonczonosci lub jeden do zera a drugi ...

Chodzi mi konkretnie o przykład:
\lim\limits_{n\to\infty}n[ln(n)-ln(n+2)]

Stosując regułę otrzymuję wynik -2, czyli taki jak mam w odpowiedzi z tyłu książki. A może da się to jakoś inaczej zrobić?

Ok, wpadłem już na pomysł:
\lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln ...