Znaleziono 2045 wyników

autor: bosa_Nike
27 mar 2024, o 19:47
Forum: Zadania "z treścią"
Temat: prawdopodobieństwo
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 60

Re: prawdopodobieństwo

Zamień pierwszy wynik na ułamek zwykły.
Ukryta treść:    
autor: bosa_Nike
23 mar 2024, o 17:08
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1398
Odsłony: 225641

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Dobra, no ale ponad dwa tygodnie to nie tydzień. Nie wnikam, jak jest zdefiniowane \(a_0\), będę rozwiązywać dla \(n\ge 2\). Biorąc \(n=2\) dostajemy \(a_n=a_2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\) oraz \(a_{n-1}=a_1=1\), oraz \(a_{n+1}=a_3=\sqrt[3]{6}\), więc \(a_2^2\ge a_1a_3\). Dowiedziemy (o ile się nie p...
autor: bosa_Nike
23 mar 2024, o 16:24
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [MIX] Mix matematyczny 47
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 811

Re: [MIX] Mix matematyczny 47

A jakie jest rozwiązanie ósmego, gdy maksymalna prędkość \(B\) wynosi \(18\) węzłów?
autor: bosa_Nike
20 mar 2024, o 21:15
Forum: Wartość bezwzględna
Temat: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Odpowiedzi: 6
Odsłony: 277

Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi

Przy porównywaniu tych dwóch ewidentnie nieujemnych wyrażeń bodaj najbardziej mechanicznym, a zarazem najbardziej "przypadkoodpornym" podejściem jest porównanie kwadratów tych wyrażeń.
autor: bosa_Nike
19 mar 2024, o 06:47
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [MIX] Mix matematyczny 47
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 811

Re: [MIX] Mix matematyczny 47

Na Ziemi przy odległościach tego rzędu (lub też z powodu, hm, educated laziness ) można problem spłaszczyć. Co do oznaczeń, \(XY\) będzie odcinkiem między punktem \(X\) a \(Y\) lub długością tego odcinka, w zależności od kontekstu. Określenia najszybszy/najwolniejszy odnoszą się do maksymalnych roz...
autor: bosa_Nike
16 mar 2024, o 13:05
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1398
Odsłony: 225641

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

To tak przypomina USAMO 2004-5, że szkoda byłoby nie spróbować analogicznej sztuczki. Chwilę mi zajęło wykombinowanie tego, a na koniec okazało się, zgodnie zresztą z podejrzeniami, że "moje" rozwiązanie, tj. \(\left(x^2-x+1\right)^3\ge\left(\frac{x^3+1}{2}\right)^2\) + Hölder, już istnie...
autor: bosa_Nike
25 lut 2024, o 13:49
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ i potegi
Odpowiedzi: 9
Odsłony: 654

Re: Układ i potegi

Nie ma rozwiązań dla \(x,y>0\). Ponieważ \((a\ln a)''=(\ln a+1)'=\frac{1}{a}>0\), to z Jensena \(x\ln x+y\ln y\ge 2\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\), więc \(x^xy^y\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^{x+y}\), co wraz z AM-GM daje \[13=x^x+y^y\ge 2\sqrt{x^xy^y}\ge 2\left(\frac{x...
autor: bosa_Nike
6 lut 2024, o 12:01
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1398
Odsłony: 225641

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Możliwe jest, że ponoszę winę za pewne zamieszanie, w wyniku którego zakopane zostało bieżące zadanie. Prostuję zatem sytuację. Rozwiązanie wynika bezpośrednio z nierówności Hlawki . Mamy \[|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\ge |a+b|+|b+c|+|c+a|.\] Wystarczy teraz zastosować \(a+b+c=-d,\ a+b=-(c+d),\ b+c=-(a+d),\ ...
autor: bosa_Nike
21 sty 2024, o 19:52
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 1398
Odsłony: 225641

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Janusz, moim zdaniem w ogólności nie ma sprzeczności, weź \(a=3,b=2,c=1,d=6\). Proponuję coś w tym stylu: \[4ab(c+d)\le (a+b)^2(c+d)=(a+b)\left((a+b)(c+d)\right)<(a+b)(ab+cd)=ab(a+b)+cd(a+b)<ab(a+b)+ab(c+d).\] Dodano po 36 minutach 56 sekundach: A, przepraszam, Ty na początku zakładałeś prawdziwość ...
autor: bosa_Nike
27 lis 2023, o 01:35
Forum: Funkcje wielomianowe
Temat: Przesunięcie o 2
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 387

Re: Przesunięcie o 2

Mamy \(b^4+2b^3+3b^2+3b+2=b^2(b+1)^2+2\left(b+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\), więc nierówność jest prawdziwa dla rzeczywistych \(b\). Msz tzw. oczekiwane rozwiązanie dla \(b>0\) to będzie coś takiego: \[2\left(b^6+1\right)+2\ge 2b^3+\left(2b^3+1\right)+1\ge 2b^3+2b^2+\left(b^2+1\right)\ge 2b^3+2...
autor: bosa_Nike
25 lis 2023, o 20:06
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Sumy a ułamki
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 464

Re: Sumy a ułamki

Rozwiązanie klasyczne, kiedyś w Kółku już było podobne ode mnie. Weźmy \(t\ge 0\). Bez straty ogólności niech \(z=\min\{x,y,z\}\). Wtedy \[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}-1+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}\right)\ge\left(\frac{x+t}{y+t}+\frac{y+t}{x+t}-2\right)+\left(\frac{y+t}{z+t}-...
autor: bosa_Nike
8 paź 2023, o 01:09
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Walker à rebours
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 1202

Re: [Nierówności] Walker à rebours

Dzięki, odpowiedź jest prawidłowa. Fajne podejście, bo nie zmusza do długich rachunków, a przy tym w sposób naturalny wskazuje na możliwość wzmocnienia. Co do szukania \(K_{min}\) w części pierwszej, to nie jest dla mnie jasne, dlaczego \(R\) ma pozostawać stałe przy ustalonych \(a,A\) i zmiennych \...
autor: bosa_Nike
16 wrz 2023, o 16:14
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Walker à rebours
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 1202

[Nierówności] Walker à rebours

Rozważmy trójkąt o kątach \(A,B,C\), obwodzie \(2s\), promieniu okręgu opisanego \(R\), promieniu okręgu wpisanego \(r\). Fakt: Jeżeli \(\max\{A,B,C\}\le\frac{\pi}{2}\), to zachodzi nierówność Walkera: \(s^2\ge 2R^2+8Rr+3r^2\). Zadanie: Rozstrzygnij, czy istnieją kąty \(K\), takie że dla wszystkich ...
autor: bosa_Nike
6 sie 2023, o 22:23
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Nierównośc w (0, 1)
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 472

Re: Nierównośc w (0, 1)

Zamiana miejscami dowolnej pary zmiennych nie zmienia nierówności - symetria wraz z danym warunkiem pozwala bez zmniejszenia ogólności ograniczyć rozważania do \(1>x\ge y\ge z>0\). Po pomnożeniu przez \(2xyz\), mamy równoważnie \[2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2\right)\ge 2xyz\left(x^2+...
autor: bosa_Nike
28 cze 2023, o 23:01
Forum: Planimetria
Temat: Pola
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 273

Re: Pola