Matematyka.pl

\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos \frac{2}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\left(\cos^2\frac{1}{n}-\sin^2\frac{1}{n}\right)\right)=\\\\=\lim_{n\to\infty}2\left(\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\right)^2=2 mam takie pytanie, skąd to się wzięło? chodzi mi o drugą linijkę... dlaczego nie może b...

Nie mam pojęcia jak to zrobić, patrzyłem na to twierdzenie ale nic mi to nie daje... ____EDIT____ Chyba, że teraz mnie oświeciło: \sin 0 \le \sin n! \le \sin \frac{\pi}{2} \frac{\sin 0}{n+1} \le \frac{\sin n!}{n+1} \le \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{n+1} \lim_{n \to \infty} \frac{\sin 0}{n+1} = 0 \lim_{n...

a jak policzyć coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n!}{n+1} =}\)

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt[n]{2^n + 4n + 9^n}) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{9^n \left( \frac{2^n}{9^n} + \frac{4n}{9^n} + 1 \right)} = 9 \cdot 1 = 9 \frac{2^n}{9^n} \rightarrow 0 , \frac{4n}{9^n} \rightarrow 0 , 1 \rightarrow 1 , \sqrt[n]{9^n} \rightarrow 9 Tak?

Proszę o pomoc jak zrobić te 2 przykłady: \lim_{n \to \infty} \left(n - \sqrt{2n^{2} - 1} \right) = \\ \lim_{n \to \infty} \left(2n - \sqrt{4n^{2} - n} \right) = Wyniki mają być takie: w pierwszym -\infty , natomiast w drugim \frac{1}{4} A mi wychodzą takie wyniki: w pierwszym 1 - \sqrt{2} , natomia...

Proszę o sposób rozwiązania tego równania:

\(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 1 = 0}\)

Z góry dzięki

Pozdro

Dzięki

P.S. Myślałem, że to jakaś bardziej skomplikowana metoda...

Proszę o pomoc w tym zadaniu: Ciąg a_n ma granicę równą 1. Oblicz granice poniższych ciągów: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2 a_n -1}{2 a_n + 1} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a_n)^2 + a_n - 2}{a_n - 1} \lim\limits_{n \to \infty} {2a_n - 1} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(a_n)^2 + 3} \lim\...

Hej! Proszę o pomoc w obliczeniu granicy dla tej funkcji: f(x) = \begin{cases} 4x^2-6x+4, x < 3 \\ 21, x = 3 \\ x^3 - x^2 + 4, x > 3 \end{cases} \lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = oraz \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = ... Mi wyszło, że 22 jedno i drugie, a w punkcie 3 funkcja ma wartość 21, to oznacza, że...

A co myślicie o takim sposobie? Sprawdzam dla n=2 : L = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} P = \sqrt{2} L > P Założenie ind. n=k : 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k} Teza ind. n=k+1 : 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \fra...

Sorka
Nie wiem jak ja tam mnożenie widziałem...

No ale proszę o jakieś wskazówki, bo tego to ja zupełnie nie rozumiem...

6^{n+2} + 7^{2n+1} = 43x , gdzie x \in N_+ Sprawdzam dla n=0 : L = 6^2 + 7 = 36 + 7 = 43 P = 43 \cdot 1 = 43 L = P Założenie ind. n=k : 6^{k+2} + 7^{2k+1} = 43x Teza ind. n = k+1 : 6^{k+3} + 7^{2k+3} = 43x Dowód L = 6^{k+3} + 7^{2k+3} = Tak może być? Proszę o pomoc w dokończeniu zadania...

Nie wiem o co Ci chodzi?

Dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{2} < 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } < \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{6} < \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{6} < 3}\)

co jest prawdą

Dzięki

P.S. Bez tego - \(\displaystyle{ {k+1\choose 2}=\frac{k(k+1)}{2}}\) - bym sobie nie poradził.