Matematyka.pl

Najpierw całka nieoznaczona:

I=\int e^{-\frac{x}{2}} dx

Powyższą całkę liczymy przez podstawienie: t= -x/2
Stąd:

dt= -1/2 dx , czyli dx= -2 dt

I= -2 \int e^{t} dt= -2 e^{t} = -2 e^{-\frac{x}{2}}

Teraz całka oznaczona niewłaściwa:

J=\int_{1}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} dx= \lim_{\beta ...

V= \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx= \pi \int_{0}^{\pi/2} x \sin{x} dx

I= \int x \sin{x} dx = uv- \int v du ,
gdzie:
u= x, \qquad du= dx
dv= \sin{x} dx, \qquad v= -\cos{x}

Stąd:
I= -x \cos{x} - \int (-\cos{x}) dx= -x \cos{x} + \sin{x}

Podstawiając do wzoru na objętość:
V= \pi [-x \cos{x ...

\(\displaystyle{ V= \pi \int_{a}^{b} y(x)^2 dx = \pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \ctg{x} dx = \pi \left[\ln|\sin{x}|\right]_{\pi/6}^{\pi/3}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ V=\pi (\ln{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \ln{\frac{1}{2}})= \pi \ln{\sqrt{3}}= \frac{\pi}{2}\ln{3}}\)

Tak czy owak przez części trzeba całkować dwa razy. Jak kto woli.

Ostatnia całka została obliczona przez podstawienie:

Należy 2 razy scałkować przez części.
1)
u= x^{14}, \quad du= 14x^{13} dx
dv= x^{6} \cos{x^7}, \quad v= \frac{1}{7} \sin{x^7}
I=uv-\int v du = \frac{1}{7} x^{14} \sin{x^7}-2\int x^{13}\sin{x^7}dx

2) Dla tej ostatniej całki:

u= x^{7}, \quad du= 7x^{6} dx
dv= x^{6} \sin{x^7}, \quad v ...

Oznaczenia:

A, B, C - wierzchołki trójkąta
a=AB, b=BC, c=AC
d - środkowa poprowadzona z wierzchołka A (d=5)
e - środkowa poprowadzona z wierzchołka C ( e=\sqrt{40} )
f - środkowa poprowadzona z wierzchołka B (długość nieznana)
r - promień okręgu wpisanego
R - promień okręgu opisanego

Korzystamy z ...

Skoro środek okręgu opisanego leży na dłuższej podstawie, to znaczy, że promień tego okręgu jest równy jej połowie, czyli 10. Oznaczając:

a - dłuższa podstawa trapezu
b - krótsza podstawa trapezu
r - promień okręgu opisanego na trapezie
h - wysokość trapezu

mamy:

h^2 + (b/2)^2 = r^2

Podstawiając ...

Na razie tylko 1 i 2. W obu przypadkach skorzystaj ze wzorów Viete'a.

1) Podstaw x_1 = (x_2)^2 do obu wzorów Viete'a. Ze wzoru na sumę wylicz x_2 , podstaw do wzoru na iloczyn pierwiastków.

2) Ze wzorów Viete'a znajdź wzór na sumę kwadratów pierwiastków. Jest to:
(x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{b^2-2ac ...

Mógłbyś napisać jaśniej równanie tej funkcji? Czy jest to:
y=10*x^2 + 1 ? I jeszcze jedno: ma to być styczna do wykresu tej funkcji, czy do wykresu jej pochodnej? Trochę niejasno to opisałeś.

Przede wszystkim skoro A jest kątem ostrym, to zachodzą następujące zależności:
sinA>0
cosA>0

Pozwoli to nam na dzielenie albo mnożenie obu stron nierówności właśnie przez sinA lub cosA bez zmiany znaku nierówności.

Zatem:

a)
tgA>sinA
(sinA)/(cosA) > sinA

Obie strony dzielimy przez sinA:

1 ...

Przede wszystkim oznaczenia:
a - dłuższa podstawa trapezu
b - krótsza podstawa trapezu
m - środkowa trapezu (odcinek łączący środki ramion trapezu)
h - wys. trapezu
P_1 - pole trapezu o podstawach m i b (konieczny tu jest rysunek)
P_2 - pole trapezu o podstawach m i a (będzie to widać na rysunku ...

Przyjmujemy oznaczenia:

a - dłuższa podstawa trapezu (bok AB)
b - krótsza podstawa trapezu (bok CD)
h - wys. trapezu
P_t - pole trapezu
P_1 - pole trójkąta EAB
P_2 - pole trójkąta EDC

Pole trapezu:
P_t = (a+b)*h/2

Zamiast pola trójkąta EBC obliczymy pola trójkątów EAB i EDC:

P_1 = a*(h/2)/2 = a ...

Powiedzmy, że początkowa cena to x. Ilość procent o jaki należy obniżyć nową cenę to y. Cenę x podwyższono o 12%, czyli mamy 112*x/100. Układamy równanie:

112*x/100 - (y/100) * (112*x/100) = x

Przekształcamy:

(112*x/100) * (1 - y/100)=x

Obustronnie dzielimy przez (112*x/100):

1-y/100=100/112
y ...

Oczywiście obliczysz (o ile we wzorze tym zastosowałaś ogólnie przyjęte oznaczenia )