Matematyka.pl

No to ja się odważę. Powinno byc dobrze .
1.
a) \(\displaystyle{ {5 8 \choose 7}}\)
b) \(\displaystyle{ 5 {8 \choose 3} {8 \choose 1}^4 + {5 \choose 2} {8 \choose 2}^2 {8 \choose 1}^3}\)
c) \(\displaystyle{ {11 \choose 4}}\)
d) \(\displaystyle{ {6 \choose 4}}\)

2.
a) \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{2n!}{2^n}}\)
c) \(\displaystyle{ n^{2n}}\)
d) \(\displaystyle{ { 3n-1 \choose n-1}}\)

No ale tu wraz z wyrażeniem pierwiastkowanym rośnie stopień pierwiastka. I chociaż twoja odpowiedź wydaje się dobra, to już jej uzasadnienie nie za bardzo. Przecież np: \(\displaystyle{ \lim_{x \to } \sqrt[n]{n}=1}\)

Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest arytmetyczny to \(\displaystyle{ 2a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}}\).
Więc \(\displaystyle{ 3^{2a_n}=3^{a_{n-1}+a_{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ (3^{a_n})^2=3^{a_{n-1}}3^{a_{n+1}} \\
b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}}\)
Wobec czego ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest geometryczny.

Czy aby na pewno?
Aby suma szeregu geometrycznego była skończona wartość bezwzględna jego ilorazu musi być mniejsza od 1. W tym przypadku: \(\displaystyle{ | \frac{1}{1-x} | }\)

Dość łatwo zauważyć i udowodnić, że wyrazy tego ciągu będą wyrażone przez:
\(\displaystyle{ a_n=2^{\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}}}\)
Stąd już łatwo zobaczyć, że granica istnieje i jest równa 2.

Znaleźć jej minimum w przedziale \(\displaystyle{ (0;\infty)}\) i policz wartość funkcji dla tego argumentu.

Zauważ, że \(\displaystyle{ (3-\sqrt{8})=(3+\sqrt{8})^{-1}}\)
No i sobie podstaw: \(\displaystyle{ t=(3+\sqrt{8})^x}\)

Z porównawczego \(\displaystyle{ \frac{n}{2^n + 7^n} qslant \frac{n}{7^n} qslant \frac{2^n}{7^n}}\)

To może czegoś nie rozumiem, ale zdaję mi się, że jak będę postępował identycznie to będę miał epsilon mniejszy od 0.
Więc zdawało mi się że trzeba gdzieś postąpić jakoś inaczej.

EDIT:
Przemyślałem sprawę i oczywiście masz rację, wcale nie jest trudniej.

Pokażę, dla dodatnich bo trochę łatwiej.
Oznaczmy granicę ciągu wyrazów dodatnich \(\displaystyle{ x_n}\) przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ xqslant \frac{x}{2} < 0}\). Sprzeczność.

Macierz w bazie kanonicznej tego przekształcenia będzie wyglądała następująco: A= ft[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&0\\-1&1&0\\1&0&1\end{array}\right] Jądrem będą wektory które generują przestrzeń rozwiązań Ax=0 a obrazem przestrzeń generowana przez wektory niezależne ...

Musisz znaleźć wartości własne. A później wektory własne. Kolumny macierzy C będą właśnie tymi wektorami.
Spróbuj sama jakby co to pomogę w wolnej chwili.

No więc wektory tworzą bazę, po pierwsze gdy są niezależne, no i gdy generują całą przestrzeń.
Wymiarem przestrzeni jest ilość wektorów w bazie.

No czyli nie przedstawiłaś żadnego dowodu, właściwie to pokazałaś, że warunki do zaistnienia jakiejkolwiek formy życia (nie mówię już o jakichś bardziej złożonych organizmach) są bardzo szczególne. I właśnie dlatego nie znamy żadnej planety, na której istnieją/istniały żywe istoty. A to że mieliśmy ...

Co do pierwszego. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x}{x} = 1}\).
A u Ciebie argument sinusa dąży do nieskończoności, więc nie jest to prawdą.
Granica ta jest równa 0, bo sinus jest ograniczony, a \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x =0}\).