Matematyka.pl

Jak widać Swistak się nie popisał, bo jak mój synek zauważył, przemycił całą istotę zadania w pierwszym zdaniu pod pozorem oczywistości, zatem ja teraz spróbuję to naprawić. Zajmijmy się istotnie ciekawszym przypadkiem, mianowicie, gdy dane na początku słowo jest okresowe. Oznaczmy jego długość prze...

Weźmy duże naturalne x takie, że \phi(m) | k^{m+x-1}+m+x . Wtedy \phi(m) | k^{m+x}+k(m+x) . Weźmy teraz naturalne l takie, że l \cdot B> k^{m+x}+km+kx , gdzie B=\phi(m)\cdot m . Wtedy \phi(m) | lB-k^{m+x}-km-kx , czyli k^{lB-k^{m+x}}\equiv _m (k^{m+x})^k i oznaczając k^{m+x}=t dostaniemy k^{lB-t}+(...

Chlopaki! Umieram z ciekawosci, jak wam dzisiaj poszlo! Mój Teoś wam strasznie zazdrosci tej wycieczki.

Przesylam buziaki z Polski :*

Witam. Załóżmy wbrew tezie, że istnieje 20 uczniów, którzy mają geometryczną klasę abstrakcji nie mniejszą od sonetowej. Nazwijmy ich u_1, \ldots , u_{20} , a pozostałych kolejnymi indeksami. Dla ucznia u_i oznaczmy odwrotność mocy jego geometrycznej klasy abstrakcji przez g_i , zaś sonetowej - s_i ...

Zaczną. Niech R_k oznacza k -ty okrąg. Niech T_k oznacza zbiór indeksów punktów otoczonych przez R_{k-1} . Niech O_k będzie środkiem R_k . Wówczas O_k jest środkiem ciężkości punktów o indeksach z T_k . Niech ponadto: f(k)= \sum_{_i \in T_{k+1}} P(R_k,X_i) , gdzie P(O,A) to potęga punktu A względem...

Cześć słodziaki! Widzę, że tamto zadanie z liczbami na osi pozostało nierozwiązane, więc wrzucam swój pomysł. Mamy skończony zbiór liczb A z przedziału [0,1] taki, że 0,1\in A oraz x\in A dla x różnego od 0,1 implikuje istnieje różnych liczb a,b\in A takich, że \frac{a+b}{2}=x . Udowodnić, że wszyst...

Przy ulicy jednokierunkowej jest n miejsc parkingowych, na których staje n kierowców. Każdy z nich ma swoje ulubione miejsce. Jeśli jest wolne, to staje na nim. Jeżeli nie, to staje na najbliższym wolnym miejscu, które znajduje się dalej. Jeśli takowego nie ma, nie parkuje. Ile jest ciągów przyporz...

Jeśli chcesz drugi etap przejść na blefach, to powodzenia kazda praca jest milion razy sprawdzana ^^
Lepiej porobić zadania.

4 harde

Harde (?)5 Odpowiedź: k \ge 4 . Dowód: Dla k \le 0 nie ma zabawy. Dla k=1 bierzemy x(2-x) , dla k=2 bierzemy x(3-x) , k=3 bierzemy -x(x-2)^2(x-4) . Od teraz k \ge4 . Jak wiadomo k+1| |W(k+1)-W(0)| \le k . Zatem W(k+1)=W(0)=t . Możemy więc napisać: W(x)=x(x-(k+1))Q(x)+t Jednak dla x=2,3,\ldots,k-1 ma...

Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał? Był nieco niegrzeczny, więc nie pozwoliłam mu. Ale troszkę pomógł przy tym: Załóżmy wbrew tezie, że istnieje pewien układ ośmiu punktów należących do [0,1]^3 , takich że każde dwa oddalone są o więcej niż 1. Podzielmy nasz sześcian na osiem mniejszyc...

Harde 3: Na początek trochę oznaczeń, polecam zrobić rysunek. O -środek okręgu opisanego na trójkącie ABC I -środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC M -środek boku BC . D_1,E_1,F_1 -punkty symetryczne do D,E,F względem O odpowiednio. Niech X będzie takim punktem, że czworokąt BE_1XA jest równoległobok...

Rozważmy następującą figurę : Mamy prostokąt ABCD , gdzie AB=3 , BC=2 . Bo boku CD doklejamy trapez XYZT tak, że bok XY sklejamy z bokiem CD , YZ=TZ=\sqrt{2} , ZT=1 . Nazwijmy tę figurę 'omnicorpus'. Łatwo sprawdzic, że średnica omnicorpusa figury to \sqrt{13} . Ponadto równie łatwo prostokąt 5 na 3...