Matematyka.pl

Oki, ale może najpierw przestaw to rozwiązanie.

To jak jeszcze policzysz ile wynosi \(\displaystyle{ Arg(-i)}\) i uprościsz, to dostaniesz, że masz do narysowania zbiór liczb zespolonych, których argument jest w ustalonym przedziale. A to powinno być proste - wystarczy wiedzieć czym jest argument liczby zespolonej.

Jak się ma argument liczby \(\displaystyle{ -2z}\) do argumentu liczby \(\displaystyle{ z}\)?

Można też tak strasznie nudno i standardowo, czyli napisać, że ta granica to \lim_{n\to\infty} \left[ \left(1 + \left( \sqrt[n]{1} + \sqrt[n]{2} + \ldots + \sqrt[n]{2022} - 2022\right) \right)^{1/\left( \sqrt[n]{1} + \sqrt[n]{2} + \ldots + \sqrt[n]{2022} - 2022\right) }\right]^{n\cdot (\sqrt[n]{1} +...

A rozpisz sobie ze wzorku dwumian Newtona \(\displaystyle{ (1+2)^n}\).

Tak, dokładnie o to chodziło. Jeśli chciałabyś mieć trochę mniej rachunków, to zobacz, że warunek, który sprawdzasz, czyli 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} \ge 1 - \frac{1}{n} jest równoważny takiemu (te jedynki aż prosi się skrócić) \frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{...

Tak Ci się nie uda. Pewnie zauważyłas w czym jest problem - jeśli teraz użyjesz założenia indukcyjnego to będziesz miała 1 + (\hbox{coś dodatniego}) < 1 i bezsensu. Aby indukcja (tak bezpośrednio) zadziałała, musisz trochę wzmocnić tezę, czyli zamiast pokazywać, że \sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}< 1 , pok...

Masz na myśli przedział (1,\infty) , tak? Bo w jedynce wyjściowa funkcja nie jest określona. Zgadza się, można by zrobić podobnie jak przed chwilą i spróbować przedłużyć na przedział [1,\infty) . I wtedy gdyby ta funkcja była tam ciągła, to tak - takie rozumowanie byłoby poprawne. Zaznaczam tylko, ż...

ale Ciebie interesuje tylko granica lewostronna w jedynce, a tu jest ok: \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x^2-1}} = 0 . Innymi słowy, taka funkcja g(x) = \begin{cases} \frac{1}{e} \qquad \hbox{ gdy } x = 0 \\ e^{\frac{1}{x^2-1}} \ \ \hbox{ gdy } x \in (0,1) \\ 0 \qquad \hbox{ gdy } x = 1 \end{cases} jes...

Jeju, przepraszam najmocniej za wprowadzenie w błąd, nie wiem co ja w tej funkcji widziałem. Oczywiście ani w \(\displaystyle{ x=0}\), ani w \(\displaystyle{ x=1}\) nie ma żadnego problemu i pomysł z przedłużeniem na przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest jak najbardziej poprawny. Policz sobie tylko te granice i powołaj się na tw Cantora.

Te twierdzenia pomagają stwierdzić, że funkcja jest jednostajnie ciągła, a twoja nie będzie, więc tak się nie uda. Możesz próbować z definicji, ale to będzie średnio wygodne. Ja kiedyś na studiach miałem takie twierdzonko, że funkcja f : A \to \mathbb{R} jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy ...

Rozumiem, że chcesz przedłużyć tę funkcję i pokazać, że jest ciągła na [0,1] i użyć twierdzenia Cantora, żeby stwierdzić, że w takim razie jest jednostajnie ciągła. Pomysł dobry, ale jest problem w x=1 i tak się nie uda. Ogólnie ta funkcja nie jest jednostajnie ciągła na (0,1) . Jakie znasz sposoby ...

Wydaje mi się, że ta granica jest równa +\infty . Dwójkę zostawiamy w spokoju, a pozostałe wyrazy szacujemy k^{\frac{1}{k-1}} \ge 3^{\frac{1}{k-1}} dla k = 3,4,\ldots n , czyli 2\sqrt{3}\ldots \sqrt[n-1]{n} \ge 2\cdot 3^{ \frac{1}{2} + \ldots +\frac{1}{n-1}} = \frac{2}{3^{1+1/n}} \cdot 3^{1 + \frac{...

Nie wiem, czy dobrze rozumiem treść. W pierwszym kroku idziemy ze stanu S do stanu A i jeśli kiedyś potem wrócimy do stanu S to koniec, tak? Wszystkie przejścia między stanami są jednakowo prawdopodobne. To znaczy, że ze stanu A z prawdopodobieństwami \frac{1}{3} idziemy do S,B \hbox{ lub } D , a pr...

Tyle, ile wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n-1}\) elementowego, pomijając zbiór pusty - bo w sumie nie ma \(\displaystyle{ {n-1 \choose 0}}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{n-1}-1}\).