Matematyka.pl

Każda liczba postaci n!+10 dla n \ge 19 posiada żądaną własność. Dowód: łatwo zauważyć, że każda z liczb: n!+10,\ldots, n!+19 jest dla n \ge 19 liczbą złożoną (co oznacza, że zamiana cyfry jedności w liczbie n!+10 na dowolną inną da nam również liczbę złożoną). Ponieważ n!+10 dla n \ge 19 dzieli się...

Tak, moja konstrukcja niestety nie była optymalna.

W takim razie f\left(n \right) =n dla n=1,2 i f\left( n\right) = \frac{n^{2}-3n+8}{2} dla n \ge 3 . Szkic rozumowania dla n \ge 3 : jedna z prostych ma przechodzić przez dokładnie n punktów, więc zaczynamy od n współliniowych punktów. Od razu widać, że musimy uzupełnić tę wstępną konfigurację o doda...

Jeśli dobrze rozumiem treść zadania, to: - dla n=1 lub n=2 : f(n)=n Oczywiście dla dowolnie wybranego punktu płaszczyzny istnieje prosta, która przez niego przechodzi. Również dla dowolnych 2 punktów istnieją zarówno takie proste, które przechodzą przez dokładnie 1 z nich, jak i taka, która przechod...

Nie zdążyłem pierwszy, ale oto mój alternatywny dowód. Przypuśćmy, że taka funkcja f istnieje i rozważmy 2 przypadki: 1) f jest różnowartościowa Wtedy dla pewnego i \in \left\{ 1, \dots, n\right\} musiałoby zachodzić: \left| \vec{ f^{-1} }\left( i\right) \right| \gt f\left( i\right) = n , czyli prze...

Podejrzewam, że pytającemu chodzi po prostu o jawny wzór przypisujący kolejnym liczbom naturalnym kolejne liczby pierwsze.

Ten argument nie wystarczy - taka przekątna może być równoległa do któregoś z pozostałych boków.

Po ponownym przeczytaniu i przemyśleniu treści zadania: czy nie jest to po prostu pytanie o to, czy dla dowolnej parzystej liczby \(\displaystyle{ n}\) istnieją 2 liczby pierwsze o różnicy równej \(\displaystyle{ n}\)? Jeśli tak, to jest to chyba problem otwarty.

Nie wiem jak ja czytałem treść tego zadania, że tak dziwnie ją zinterpretowałem, ale od razu wydało mi się ono podejrzanie łatwe. Oczywiście palnąłem głupotę, pomyślę nad właściwym rozwiązaniem.

Istnieje. Przykład: \(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=5}\), \(\displaystyle{ m=2}\). Wtedy \(\displaystyle{ a+m=5}\) i \(\displaystyle{ b+m=7}\), więc są pierwsze.

Działanie określone w zadaniu jest niejednoznaczne. Co ma zwrócić np. dla liczby \(\displaystyle{ 0,5}\)?

To się może nie udać.

Czyżby? Naprawdę nie widzisz bardzo prostej, wręcz oczywistej pary liczb wymiernych \(\displaystyle{ a,b}\), dla której rozpatrywana liczba jest wymierna?

No to czekamy z niecierpliwością na tę konstrukcję.

To teraz koniecznie nam się pochwal, jak tego dokonałeś.

Dziękuję za odpowiedzi. Wychodzi na to, że w dowodzie ze skryptu umknął mi fakt, że zbiór \(\displaystyle{ N(k)}\) jest najmniejszym zbiorem spełniającym dane warunki (tzn. autor korzysta z niego, ale dość milcząco) i dlatego miałem problem z zauważeniem inkluzji w jedną stronę.