Matematyka.pl

Tak. Gdy \(\displaystyle{ b=0}\), to część urojona liczby zespolonej równa jest zero.

Przykład.

\(\displaystyle{ z=2+3i}\)

Jest to liczba zespolona, w której cześć urojona jest różna od zera.

\(\displaystyle{ z=7+0i=7}\)

Jest to liczba zespolona, w której część urojona wynosi zero.

Źle.

Każdą liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\) można przedstawić w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ z=a+bi, \quad a,b \in \mathbb{R}}\)

Dla \(\displaystyle{ z=-4}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-4\\ b=0 \end{cases}}\)

Postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ z=4(\cos{\pi}+i\sin{\pi})}\)

Liczba ta jest wyznaczona jednoznacznie.

Dziedzinę wyznaczyłeś poprawnie, ale granice błędnie.

\(\displaystyle{ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{(x+2)^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(x+2)^2}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -2 ^{-} } \frac{1}{(x+2) ^{2} } = \lim_{ x\to -2 ^{+} } \frac{1}{(x+2) ^{2} } = \infty}\)

Zadanie (1).



\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_pH}\)

\(\displaystyle{ |CD|=d, \quad |C'D|=\frac{d}{3}}\)

Z twierdzenia sinusów wyznacz \(\displaystyle{ c}\).

Trójkąty ACD i A'C'D są podobne. Korzystając z tego faktu wyznacz \(\displaystyle{ c'}\).

Dalej powinieneś sobie poradzić.

Wskazówka. Policz pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w celu wyznaczenia ekstremów i zbadania jej monotoniczności.

Przykład (1).

\(\displaystyle{ f(x)=1-\arcsin{\frac{x}{4}}, \quad x \in [-4;4]}\)

Funkcja jest bijekcją.

\(\displaystyle{ x=1-\arcsin{\frac{y}{4}}}\)

\(\displaystyle{ \arcsin{\frac{y}{4}}=1-x}\)

\(\displaystyle{ y=4\sin{(1-x)}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ f^{-1}(x)=4\sin{(1-x)}, \quad x \in [1-\tfrac{\pi}{2};1+\tfrac{\pi}{2}]}\)

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ a_1=1}\)

\(\displaystyle{ a_2=1+4=5}\)

\(\displaystyle{ a_3=1+4+7=12}\)

...

Liczby pięciokątne to liczby postaci:

\(\displaystyle{ a_n=\frac{n(3n-1)}{2}}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^3(x+3)=x^4-6x^2+8x-3=(x^2-7)(x^2+1)+(8x+4)}\)

\(\displaystyle{ R(x)=8x+4}\)

Tak.

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ 1+2-3+4+5-6+7+8-9+...-3n=\frac{3n(n-1)}{2}}\)

Warunkiem tego, aby ciąg był rosnący jest:

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ ((n+1)\sin{\alpha}-3)-(n\sin{\alpha}-3)>0}\)

Po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \sin{\alpha}>0, \quad \alpha \in [0;2\pi]}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \alpha \in [0;\pi]}\)

Podstawa logarytmu nie może być równa 1.

Zatem musimy dorzucić dodatkowe założenie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x\neq1}\)

Dobrze.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2} x>0\\ \frac{1}{2} x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \quad x \in (0;2) \cup (2;+ \infty )}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in (-1;4) \\ x \in (0;2) \cup (2;+ \infty ) \end{cases} \Rightarrow \quad x \in (0;2) \cup (2;4)}\)