Matematyka.pl

Do PGF/TikZ jest sporo przykładów w sieci, np.: Jak opanujesz podstawy będzie łatwiej

(kąty wymagają dodatkowe pakietu z tikzlibrary, który chyba nie działa na forum)

luka52 pisze:Jeśli powyższa całka to \(\displaystyle{ I(p)}\), to nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ I'(p) = 0}\) (bo wtedy pod całką jest funkcja nieparzysta względem środka przedziału całkowania). Samą zaś wartość najłatwiej jest wyznaczyć gdy \(\displaystyle{ p = 0}\).

370344.htm

Oznaczmy całkę z wątku jako I . Następnie zdefiniujmy

J(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{e^x + e^{-x}} \; \dd x \;.

Pozostaje policzyć J''(0) = I .

Mamy

J''(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2 e^{-xt}}{e^x + e^{-x}} \; \dd x \; \Big|_{t = 0} = I\;.
Po dokonaniu podstawienia ...

Zapisz f jako:
\(\displaystyle{ f(t) = \frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 - 1} {1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2}}\)
i teraz spróbuj.

Coś całeczki nie "pykły", może ta: ?

dec1, ... 06-002.pdf

Podstawiając t = 1 - x mamy:

I = \int_1^0 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, (- \dd t) = \int_0^1 \frac{\ln^2 t}{1 - t} \, \dd t = \int_0^1 \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \ln^2 x \, \dd x
Policzmy:
$\begin{align*}\int_0^1 x^n \ln^2 x \,\dd x &= \frac{\ln^2 x}{(n+1)} x^{n+1} \Big|_0^1 - \frac{2}{n+1}\int_0^1 ...

dec1, tak, choć preferowane jest rozwiązanie nie z tablic

No to na rozruszanie, w nawiązaniu do siostrzanej całki z kosinusem, proszę obliczyć:

\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1 + x^2} \, \dd x

Gdyby powyższa całka okazała się za prosta, to proszę pokazać, że:

\int_0^{1/e} \frac{W (x \ln x)}{x} \, \dd x = \frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{6}\;,
gdzie W ...

\int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^n \frac{\sin m x}{x} \, \dd x = \frac{\pi}{2}, \quad m \ge n \;.
Indukcyjnie, sprawdzenie dla n = 0 jest proste.
Dowód indukcyjny:

$\begin{align*} \int_0^{+\infty} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{k + 1} \frac{\sin m x}{x}\, \dd x & =
\int_0 ...

ad 1.
a_n = \int_0^1 t^{2n} \, \dd t = \frac{1}{2n+1}
\frac{\dd a_n}{\dd n} = 2 \int_0^1 t^{2n} \ln t \, \dd t = -\frac{2}{(2n+1)^2}
\int_0^1 \frac{\ln t}{1-t^2} \, \dd t = \sum_{n = 0}^{+\infty} \int_0^1 t^{2n} \ln t \, \dd t = - \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = -\frac{\pi^2}{8 ...

Skoro całka nr 5 stoi nierozwiązana, może ktoś wrzuci nowy zestaw?

Wg mnie całkiem eleganckie rozwiązanie, bardziej istotne jest chyba jak starannie zapisujesz rozwiązanie, co bezpośrednio wpływa na końcową estetykę
Odnośnie podanej przez Ciebie całki, to 370344.htm#p5261231

ad 7.
Premislav już blisko
Korzystając z gotowego już rozwinięcia:
\text{arcsinh}\, x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}
mamy:
(\text{arcsinh}\,x )' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2} x^{2n} \Rightarrow \frac{1 ...

1. Wyprowadzić wzór rekurencyjny na:
I^\pm_n = \int \frac{\dd x}{x \cdot (x \pm 1) \cdot \ldots \cdot (x \pm n)}

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=76134#p287664


5. Obliczyć:
\int_0^1 \frac{1}{1 + x} \cdot \left( \sum_{k = 1}^{+\infty} x^{2^k - 1} \right) \; \dd x
Całka sprowadza się do ...