Matematyka.pl

Tak jest, wszystko się zgadza. Serdecznie dzięki.

Po pomnożeniu stronami wg mnie byłoby tak:
\(\displaystyle{ (a + b)^2 \cdot x \equiv (a^2 + b^2)(a+b) \mod ab}\)

i jak ma na podstawie \(\displaystyle{ NWD(a,b) = 1}\) dojść do \(\displaystyle{ NWD(a^2+b^2,ab)=1}\) ?

rozwiąż kongruencję:

\(\displaystyle{ (a + b) \cdot x \equiv a^2 + b^2 (mod \ ab)}\) gdzie \(\displaystyle{ NWD(a,b) = 1}\).

Będę wdzięczny za jakąkolwiek wskazówkę.

1. No właśnie na intuicję wydaję się jasne, a takich rzeczy (w moim mniemaniu) dość trudno się dowodzi. Powiedzmy, że NWD(ac, bc) = d , czyli można napisać, że \exists x,y: ac = dx \ i \ bc = dy ale jakoś nie widzę, żeby mnie to gdziekolwiek prowadziło. Intuicyjnie wszystko jest jasne i nietrudno ...

Jakby ktoś mógł rzucić okiem i naprowadzić mnie na rozwiązaniem byłbym rad. Pewnie nie jest to aż takie trudne, ale jednak mi nie idzie.

1. \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{N}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ NWD(ac, bc) = NWD(a,b) \cdot c}\).

2. WYkaż, że \(\displaystyle{ NWD(5a + 4b,4a+3b) = 1 \Longleftrightarrow NWD(a,b) = 1}\).