Matematyka.pl

Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x \sin \alpha -y\cos \alpha =\sin \alpha \\ x \cos \alpha + y \sin \alpha =1 \end{cases}}\) z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\). Dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) suma \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}}\) jest najmniejsza?

Dany jest układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} (\sin \alpha-1)x + y=1 \\ -2 \sin \alpha \cdot x +(2\sin \alpha +1)y=\sin \alpha \end{cases}}\)
a) Rozwiąż ten układ przyjmując \(\displaystyle{ \alpha \in <0;2 \pi >}\)
b) Dla jakich \(\displaystyle{ \alpha \in <0;2 \pi >}\) rozwiązaniem tego układu jest para liczb ujemnych?

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{1-\left| x\right| }}\)

dziedzinę mam \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1,1\right\}}\)

ale jak doprowadzić do postaci kanonicznej?

w turnieju piłkarskim w którym każda drużyna gra z każdą drużyną jeden mecz odbędzie się 45 spotkań: a) ile drużyn bierze udział w turnieju? b) Kibic pewnej drużyny wygrał bilety na dwa różne mecze. Jakie jest prawdopodobieństwo że obejrzy: 1) dwa mecze swojej drużyny 2) przynajmniej jeden mecz swoj...

Boki AB i AD czworokąta ABCD wpisanego w okrąg mają długość równą długości przekątnej BD. Oblicz miarę kąta BCD tego czworokąta.

Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg, a następnie poprowadzono prostą k, która jest styczna do tego okręgu w punkcie B. Prosta k tworzy z bokami AB i BC kąty ostre o miarach równych odpowiednio 46 i 54. Oblicz miary katów trójkąta ABC.

Wysokości równoległoboku mają długości 2 i 4. Oblicz pole równoległoboku, wiedząc, że jego obwód wynosi 30.

Prosta k przecina okrąg o w punktach P i Q. Prosta l jest styczna do okręgu o w punkcie S. Punkt K jest punktem wspólnym prostych k i l, a Q jest środkiem odcinka PK. Wyznacz stosunek długości odcinków PQ i SK.

Ramię trójkąta równoramiennego ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), a kąt przy podstawie ma miarę 30. Okrąg o styczny do prostej zwierającej jedno z ramion, a drugie ramię jest jego cięciwą. Oblicz długość odcinków na jakie okrąg o dzieli podstawę trójkąta.

Wykaż że \(\displaystyle{ \log( \sqrt{6} + \sqrt{5} ) = - \log( \sqrt{6} - \sqrt{5} )}\)

Wyznacz dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ Z=\{x \in R: \left|x \right| < 10 \wedge x ^{2} -6x \ge 0\}}\) w przestrzeni liczb rzeczywistych.

W trapezie równoramiennym o obwodzie 52 i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{313}}\) można wpisać okrąg. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od podstaw.

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm i ramionach długości 9 cm. Obliczyć sumę: długości odcinka łączącego punkty przecięcia dwusiecznych kątów przy podstawie z ramionami trójkąta oraz odległość tego odcinka od podstawy.

W trójkącie ABC o bokach długości |AB|=10, |BC|=8, |CA|=6 na boku BC wybrano punkt K, a na boku AB punkt L tak, że |CK|=1 oraz odcinek |KL| dzieli trójkąt ABC na dwie części o równych polach. Oblicz długość odcinka AL.

Punkt \(\displaystyle{ A = (− 2,5)}\) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ABC}\) , w którym \(\displaystyle{ |AC | = |BC |}\) . Pole tego trójkąta jest równe \(\displaystyle{ 15}\) . Bok \(\displaystyle{ BC}\) jest zawarty w prostej o równaniu \(\displaystyle{ y = x + 1}\) . Oblicz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) .