Matematyka.pl

Rozważmy funkcję f: [0; +\infty] \rightarrow \mathbb{R} , daną wzorem: f(x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \sin \frac{x}{n}}{n} . Czy istnieje \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) ? Czy f jest różniczkowalna? Jeśli tak, to zbadaj czy f'(0) > 0 . Mam następujące pytania co do tego: Czy istni...

Wykaż, że dla każdej funkcji f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} która ma nieskonczenie wiele pochodnych, jeżeli: \forall _{n \geqslant 2015} \forall _{x \in \mathbb{R}} \left | f^{(n)}(x) \right | \leq 7 to ciąg funkcyjny \left \{ T _ {n, f, 0} \right \} _{n \geq 0} jest punktowo zbieżny do f . (t...

Co do tego małego otoczenia, to po prostu nie liczymy wielomianu Taylora dla całej dziedziny tej funkcji tylko w pewnym otoczeniu \sqrt{2} , tak? I co dokładnie nam to umożliwia? Bo nie rozumiem do końca co nam to daje. Co do mojego oszacowania, no to liczę po kolei: f(0) = 0 f'(x) = \frac{x^2 \cdot...

Hmm, co dokładnie masz na myśli, mówiąc że to rozszerzymy? Szczerze mówiąc, to nie jestem teraz juz pewien jak określic jakie pochodne potrzebujemy. W sensie wiem jak to zrobic ideowo, ale na tym przykładzie - wychodza straszne te pochodne + nie ma wzoru na n-tą pochodną, jak to jakoś najbardziej se...

Witam, Mam znaleźć jakiekolwiek wymierne przybliżenie q liczby a = \frac{\sin(\sqrt{2})}{\sqrt{2}} z dokładnością do d = \frac{1}{500} . Ogolnie znam sposób rozwiązywania takich zadan, przy pomocy rozwinięcia funkcji w wielomian Taylora i pewną resztę która możemy szacować z tw. Lagrange'a o postaci...

Witam, Mam zadanie, w którym należy znaleźć liczbę pierwiastków x \in \mathbb{R} równania a^x = 2016x w zależności od parametru a > 0 . Mam pytania co do poprawności mojego sposobu rozumowania oraz co do jego ścisłości. Widzę to tak: Mamy dwie funkcje, jedna wykładniczą i jedną liniową y = 2016x . R...

Wielkie dzięki, wszystko ogarnięte, tylko skąd jest że \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = \sqrt{2}.}\)?
Skąd ten pierwiastek z dwóch tam? Podstawiłem \(\displaystyle{ 0}\) i dostaje się \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = n \sqrt[n+1]{n+1}}\), ale to chyba rozbieżna suma?

Witam, Mam następujący ciąg funkcyjny: f_{n}(x) = \frac{\arctg\left( {n^{\frac{1}{4}}x^{2}\right)}}{n^{\frac{3}{2}}} . Teraz określona jest funkcja S: R \rightarrow R : S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) Mam stwierdzić czy tak określona funkcja jest poprawnie określona, tj. że ten szereg funkcyjny j...

Wielkie, wielkie dzięki, zrozumiałem wreszcie całą ideę jaka sie za tym kryła.
Mam jeszcze tylko następujące pytanie: jak wyznaczyć te wartości granicy i pochodnej w 0?

No okej, czyli punktowo jest zbieżny, zatem funkcja S jest istotnie dobrze zdefiniowana.
Mam jeszce stwierdzić czy istnieją granica i pochodna S w 0. Pochodna na pewno nie, bo S nie jest jednostajna, a jak z granicą?

Ale żeby funkcja S: \left( -1; 1\right) \rightarrow R zdefiniowana tak: S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x) była poprawnie określona, czyli żeby szereg liczbowy był zbieżny dla wszystkich x \in \left( -1; 1\right) , przy czym w treści jest po prostu zbieżny , niekoniecznie jednostajnie, więc wystarc...

Zauważyłem teraz, że w treści przy części z szeregiem jest przedział otwarty - \left( -1; 1\right) . Teraz trzeba by więc wziąć ten sam ciąg na tym przedziale i pokazać że jest jednostajnie zbieżny do 0? Nie wiem natomiast jak to pokazać przy użyciu tej normy supremum, mając juz tego kandydata w pos...

Racja, pomyliłem się, oczywiście ciąg stały równy 0.
Jaki jest natomiast wniosek z tego, że funkcje są ciągłe, a ich granica punktowa nie? Jeśli granica punktowa jest nieciągła to nie ma zbieżność jednostajnej?

No dobra, to punktowo będzie chyba tak, że dla \(\displaystyle{ x=-1}\) będzie brak zbieżności, dla \(\displaystyle{ x=1}\) będzie to \(\displaystyle{ 1}\) a dla reszty \(\displaystyle{ 0}\)? I ta funkcja ma być kandydatem?

Dla każdego n \ge 0 określamy funkcję f_{n}: \left[ -1; 1\right] \rightarrow R wzorem: f_{n}(x) = \sqrt[n+1]{n+1} \left( \frac{x +x^2}{2} \right) ^n . Teraz tak. Mam po pierwsze zbadać czy ciąg określony takim wzorem jest jednostajnie zbieżny. Skorzystałem tu z normy supremum i faktu mowiącego że f_...