Znaleziono 233 wyniki
- 3 wrz 2016, o 16:58
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Istnienie granicy szeregu funkcyjnego
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 668
Istnienie granicy szeregu funkcyjnego
Rozważmy funkcję f: [0; +\infty] \rightarrow \mathbb{R} , daną wzorem: f(x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \sin \frac{x}{n}}{n} . Czy istnieje \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) ? Czy f jest różniczkowalna? Jeśli tak, to zbadaj czy f'(0) > 0 . Mam następujące pytania co do tego: Czy istni...
- 2 wrz 2016, o 14:11
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Ciąg funkcyjny zbudowany z wielomianów Taylora
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 524
Ciąg funkcyjny zbudowany z wielomianów Taylora
Wykaż, że dla każdej funkcji f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} która ma nieskonczenie wiele pochodnych, jeżeli: \forall _{n \geqslant 2015} \forall _{x \in \mathbb{R}} \left | f^{(n)}(x) \right | \leq 7 to ciąg funkcyjny \left \{ T _ {n, f, 0} \right \} _{n \geq 0} jest punktowo zbieżny do f . (t...
- 28 sie 2016, o 17:44
- Forum: Rachunek różniczkowy
- Temat: Wymierne przybliżenie liczby
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 534
Wymierne przybliżenie liczby
Co do tego małego otoczenia, to po prostu nie liczymy wielomianu Taylora dla całej dziedziny tej funkcji tylko w pewnym otoczeniu \sqrt{2} , tak? I co dokładnie nam to umożliwia? Bo nie rozumiem do końca co nam to daje. Co do mojego oszacowania, no to liczę po kolei: f(0) = 0 f'(x) = \frac{x^2 \cdot...
- 28 sie 2016, o 17:19
- Forum: Rachunek różniczkowy
- Temat: Wymierne przybliżenie liczby
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 534
Wymierne przybliżenie liczby
Hmm, co dokładnie masz na myśli, mówiąc że to rozszerzymy? Szczerze mówiąc, to nie jestem teraz juz pewien jak określic jakie pochodne potrzebujemy. W sensie wiem jak to zrobic ideowo, ale na tym przykładzie - wychodza straszne te pochodne + nie ma wzoru na n-tą pochodną, jak to jakoś najbardziej se...
- 28 sie 2016, o 16:43
- Forum: Rachunek różniczkowy
- Temat: Wymierne przybliżenie liczby
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 534
Wymierne przybliżenie liczby
Witam, Mam znaleźć jakiekolwiek wymierne przybliżenie q liczby a = \frac{\sin(\sqrt{2})}{\sqrt{2}} z dokładnością do d = \frac{1}{500} . Ogolnie znam sposób rozwiązywania takich zadan, przy pomocy rozwinięcia funkcji w wielomian Taylora i pewną resztę która możemy szacować z tw. Lagrange'a o postaci...
- 27 sie 2016, o 15:44
- Forum: Rachunek różniczkowy
- Temat: Liczba pierwiastków równania
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 295
Liczba pierwiastków równania
Witam, Mam zadanie, w którym należy znaleźć liczbę pierwiastków x \in \mathbb{R} równania a^x = 2016x w zależności od parametru a > 0 . Mam pytania co do poprawności mojego sposobu rozumowania oraz co do jego ścisłości. Widzę to tak: Mamy dwie funkcje, jedna wykładniczą i jedną liniową y = 2016x . R...
- 8 cze 2016, o 19:28
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Wielkie dzięki, wszystko ogarnięte, tylko skąd jest że \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = \sqrt{2}.}\)?
Skąd ten pierwiastek z dwóch tam? Podstawiłem \(\displaystyle{ 0}\) i dostaje się \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = n \sqrt[n+1]{n+1}}\), ale to chyba rozbieżna suma?
Skąd ten pierwiastek z dwóch tam? Podstawiłem \(\displaystyle{ 0}\) i dostaje się \(\displaystyle{ T'(0) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n'(0) = n \sqrt[n+1]{n+1}}\), ale to chyba rozbieżna suma?
- 8 cze 2016, o 11:18
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Szereg funkcyjny, zbieżność, granica i różniczkowalność
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 573
Szereg funkcyjny, zbieżność, granica i różniczkowalność
Witam, Mam następujący ciąg funkcyjny: f_{n}(x) = \frac{\arctg\left( {n^{\frac{1}{4}}x^{2}\right)}}{n^{\frac{3}{2}}} . Teraz określona jest funkcja S: R \rightarrow R : S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) Mam stwierdzić czy tak określona funkcja jest poprawnie określona, tj. że ten szereg funkcyjny j...
- 7 cze 2016, o 15:00
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Wielkie, wielkie dzięki, zrozumiałem wreszcie całą ideę jaka sie za tym kryła.
Mam jeszcze tylko następujące pytanie: jak wyznaczyć te wartości granicy i pochodnej w 0?
Mam jeszcze tylko następujące pytanie: jak wyznaczyć te wartości granicy i pochodnej w 0?
- 6 cze 2016, o 14:28
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
No okej, czyli punktowo jest zbieżny, zatem funkcja S jest istotnie dobrze zdefiniowana.
Mam jeszce stwierdzić czy istnieją granica i pochodna S w 0. Pochodna na pewno nie, bo S nie jest jednostajna, a jak z granicą?
Mam jeszce stwierdzić czy istnieją granica i pochodna S w 0. Pochodna na pewno nie, bo S nie jest jednostajna, a jak z granicą?
- 6 cze 2016, o 00:57
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Ale żeby funkcja S: \left( -1; 1\right) \rightarrow R zdefiniowana tak: S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x) była poprawnie określona, czyli żeby szereg liczbowy był zbieżny dla wszystkich x \in \left( -1; 1\right) , przy czym w treści jest po prostu zbieżny , niekoniecznie jednostajnie, więc wystarc...
- 6 cze 2016, o 00:17
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Zauważyłem teraz, że w treści przy części z szeregiem jest przedział otwarty - \left( -1; 1\right) . Teraz trzeba by więc wziąć ten sam ciąg na tym przedziale i pokazać że jest jednostajnie zbieżny do 0? Nie wiem natomiast jak to pokazać przy użyciu tej normy supremum, mając juz tego kandydata w pos...
- 5 cze 2016, o 23:36
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Racja, pomyliłem się, oczywiście ciąg stały równy 0.
Jaki jest natomiast wniosek z tego, że funkcje są ciągłe, a ich granica punktowa nie? Jeśli granica punktowa jest nieciągła to nie ma zbieżność jednostajnej?
Jaki jest natomiast wniosek z tego, że funkcje są ciągłe, a ich granica punktowa nie? Jeśli granica punktowa jest nieciągła to nie ma zbieżność jednostajnej?
- 5 cze 2016, o 22:58
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
No dobra, to punktowo będzie chyba tak, że dla \(\displaystyle{ x=-1}\) będzie brak zbieżności, dla \(\displaystyle{ x=1}\) będzie to \(\displaystyle{ 1}\) a dla reszty \(\displaystyle{ 0}\)? I ta funkcja ma być kandydatem?
- 5 cze 2016, o 19:07
- Forum: Ciągi i szeregi funkcyjne
- Temat: Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 2006
Zbadać zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego, lim i pochodna
Dla każdego n \ge 0 określamy funkcję f_{n}: \left[ -1; 1\right] \rightarrow R wzorem: f_{n}(x) = \sqrt[n+1]{n+1} \left( \frac{x +x^2}{2} \right) ^n . Teraz tak. Mam po pierwsze zbadać czy ciąg określony takim wzorem jest jednostajnie zbieżny. Skorzystałem tu z normy supremum i faktu mowiącego że f_...