Znaleziono 3045 wyników
- 19 sty 2019, o 19:03
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: XIV OMJ
- Odpowiedzi: 57
- Odsłony: 19934
Re: XIV OMJ
Jestem mocno za stary na te zadania, ale znalazłem chwilkę na przekminę. Nie widziałem żeby pojawiło się moje rozwiązania zadania drugiego, więc je wrzucam Niech E będzie punktem symetrycznym do D względem prostej AP . Łatwo zauważamy, że trójkąty \Delta AEP i \Delta ADP są przystające. Podobnie lic...
- 9 cze 2018, o 08:48
- Forum: Przekształcenia algebraiczne
- Temat: Udowodnij nierówność.
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 792
Re: Udowodnij nierówność.
Ale jest prawdziwa dla wszystkich liczb, dla których jest określona. Wyznaczenie dziedziny pozostawiam Tobie. Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek: \sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2}
- 25 kwie 2018, o 15:00
- Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
- Temat: Turniej i jego centrum
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1444
Re: Turniej i jego centrum
Dowód przeprowadzimy przez indukcję matematyczną po liczbie wierzchołków w grafie. Dla grafu o jednym wierzchołku teza jest oczywista. Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla dowolnego turnieju o n wierzchołkach. W kroku indukcyjnym rozważmy turniej T o n+1 wierzchołkach. Niech v będzie dowolnym wierzch...
- 25 kwie 2018, o 00:09
- Forum: Teoria liczb
- Temat: Liczba złożona
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 659
Re: Liczba złożona
Przedstawię inne rozwiązanie. Zauważmy, że ta liczba składa się z samych jedynek! Stąd łatwo widać, że jeżeli k|n to \underbrace{11\dots 1}_{k}|\underbrace{11 \dots 1}_{n} , co dowodzi naszej tezy. Niech n=dk . Wówczas \underbrace{11\dots 1}_{n} = \underbrace{11\dots 1}_{k}\left(10^{\left(k-1\right)...
- 24 kwie 2018, o 23:52
- Forum: Teoria liczb
- Temat: Potęgowanie modularne
- Odpowiedzi: 4
- Odsłony: 938
Re: Potęgowanie modularne
Jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ 235 = 5 \cdot 47}\)
\(\displaystyle{ 2^235 = 32^47 \equiv \left(-2\right)^47 = -2^47 = -2^{-1} \cdot \left(2^16\right)^3 \equiv -9 \equiv 8 \pmod{17}}\)
Z MTF \(\displaystyle{ 2^16 \equiv 1 \pmod{17}}\) i łatwo widać, że \(\displaystyle{ 2^{-1} = 9 \pmod{17}}\)
\(\displaystyle{ 235 = 5 \cdot 47}\)
\(\displaystyle{ 2^235 = 32^47 \equiv \left(-2\right)^47 = -2^47 = -2^{-1} \cdot \left(2^16\right)^3 \equiv -9 \equiv 8 \pmod{17}}\)
Z MTF \(\displaystyle{ 2^16 \equiv 1 \pmod{17}}\) i łatwo widać, że \(\displaystyle{ 2^{-1} = 9 \pmod{17}}\)
- 19 kwie 2018, o 01:22
- Forum: Inne konkursy ogólnopolskie
- Temat: Finał Konkursu MiNI (Politechnika Warszawska 2018)
- Odpowiedzi: 16
- Odsłony: 4948
Re: Finał Konkursu MiNI (Politechnika Warszawska 2018)
Niezwykle urocze rozwiązanie zadania 5. Niech A',B',C' to punkty przecięcia dwusiecznych kątów odpowiednio A,B,C z przeciwległymi bokami trójkąta. Można policzyć długość dwusiecznej CC' (np. z twierdzenia Stewarta lub jak w jego dowodzie 2 razy z cosinusów) i wychodzi 6\sqrt{2} . Z twierdzenia Van A...
- 12 kwie 2018, o 17:41
- Forum: Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
- Temat: Równanie z iloczynem cos(x)
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 654
Równanie z iloczynem cos(x)
\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{8\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8\sin x} = \frac{\sin 8x}{8\sin x} (zwijamy kolejno do wzoru na sinus kąta podwojonego) Przypadek gdy \sin x =0 należy rozważyć osobno!!! Stąd równanie (dla \sin x \neq 0 można zapisać jako \sin 8x = \sin x...
- 7 kwie 2018, o 16:27
- Forum: Planimetria
- Temat: Problem z biegunową
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 575
Re: Problem z biegunową
Też miałem kiedyś z tym problem. Z pomocą przychodzi praca:
Twierdzenie 1.10
Twierdzenie 1.10
- 4 kwie 2018, o 01:05
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: Perspektywa na OM oczami niewtajemniczonej
- Odpowiedzi: 10
- Odsłony: 3099
Re: Perspektywa na OM oczami niewtajemniczonej
1) Czy osiągnięcie czegoś na OM jest kwestią talentu czy wypracowania? I na ile ważny jest w tym wszystkim talent? 2) Czy robienie zadań oraz analiza OMJ i przejrzenie biblioteczki z ich strony da jakiś efekt? 3) Jak długo zajęło Wam przejście przez etap, w którym rozwiązywanie takich zadań sprawia...
- 28 mar 2018, o 00:01
- Forum: Planimetria
- Temat: Okrąg długość odcinka
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 665
Re: Okrąg długość odcinka
https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_theorem To nie jest dokładnie to twierdzenie (twierdzenie o motylku), Twoje jest nieco ogólniejsze, ale dowód jest niemal identyczny. Dowód jest ładnie rozpisany, dochodzisz do równości: \left(\frac{MX}{MY}\right)^{2} = \frac{\left(PM-MX\right)\left(QM+MX\rig...
- 23 mar 2018, o 07:45
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXIX OM
- Odpowiedzi: 165
- Odsłony: 58128
LXIX OM
Gratulacje dla wszystkich finalistów (jest ich 140)! No i czekamy na jakieś informacje o rzeczywistym progu
- 18 mar 2018, o 13:45
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: XIII OMJ
- Odpowiedzi: 127
- Odsłony: 28076
XIII OMJ
Bardzo ładne zadania, naprawdę Kolorujemy następująco (działa dla dowolnego n ): 1 dostaje kolor 1 , a dowolna liczba naturalna rozłożona na czynniki pierwsze n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\dots p_{l}^{\alpha_{l}} dostaje kolor \alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots + \alpha_{l}+1 . Pozostawiam jako ćw...
- 16 mar 2018, o 14:28
- Forum: Kombinatoryka i matematyka dyskretna
- Temat: Eulerowskość grafu trójdzielnego pełnego
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 813
Re: Eulerowskość grafu trójdzielnego pełnego
1. Graf jest trójdzielny. Jaki ma stopień każdy wierzchołek z klasy \(\displaystyle{ p}\), jaki z \(\displaystyle{ q}\) a jaki z \(\displaystyle{ r}\)?
2. Jaki jest warunek konieczny i dostateczny na to żeby graf miał cykl Eulera?
2. Jaki jest warunek konieczny i dostateczny na to żeby graf miał cykl Eulera?
- 16 mar 2018, o 14:23
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
- Odpowiedzi: 4
- Odsłony: 2824
Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego
Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie x a drugi y ( x kawałek przy krótszej przyprostąkątnej a ). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie: \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b} Do tego twierdzenie o dwusiecznej \frac{x+3}...
- 11 mar 2018, o 21:04
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Suma miar zacieniowanych kątów w trójkącie
- Odpowiedzi: 2
- Odsłony: 1665
Re: Suma miar zacieniowanych kątów w trójkącie
Z czym konkretnie jest problem? Jakieś próby rozwiązania?
Wskazówki:
1. Suma miar kątów w trójkącie to ile? Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
2. Jakie mogą być potencjalne wymiary takiego sześcianu (ile najmniej?). Ile trzeba by dołożyć wtedy kostek?
Wskazówki:
1. Suma miar kątów w trójkącie to ile? Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
2. Jakie mogą być potencjalne wymiary takiego sześcianu (ile najmniej?). Ile trzeba by dołożyć wtedy kostek?