Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb rzeczywistych, że całka:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{\exp(x^b)-1}{(1-\cos x)^a}\text dx}\)

jest zbieżna

Wystarczy, że podzielisz po prostu te liczbę przez 103 i otrzymaną resztą z dzielenia zastąpisz 5988.

Stąd właśnie:
-5988^{26}\equiv -14^{26}

Proponuję też udowodnić, że istotnie taka własność kongruencji zachodzi - dla lepszego zrozumienia.
Pozdrawiam.

-- 13 sty 2013, o 14:35 --

Natomiast ...

Faner pisze: Czyli ogolnie musze np pierwsze podzielic te \(\displaystyle{ 5988}\) przez \(\displaystyle{ 103}\) nastepnie otrzymana wartosc pomnozyc przez \(\displaystyle{ 103}\) i otrzymana nowa wartosc odjac od \(\displaystyle{ 5988}\) ?
W ten sposob sie to robi czy jest jakis bardziej optymalny ?

To jest bardzo nieoptymalny sposób na otrzymanie 0.

Ale żeby dowieść nierówności użytych powyżej to raczej trzeba je wymnożyć?
Załóżmy druga:

\frac{1}{4abc} \ge \frac{27}{4(a+b+c)^3} \\
\frac{1}{abc} \ge \frac{27}{(a+b+c)^3} \\
(a+b+c)^3 \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^2b \ +6abc \geq 27abc\\
(a^3+b^3+c^3)+3\sum a^3b \geq21abc

i tutaj jest to ...

A dla osób, które dopiero zaczynają zliczanie przedstawię intuicję:

\begin{matrix}
1 & & & & \\
1 & 2 & & & \\
1 & 2 & 3 & & \\
& & \vdots & & \\
1 & 2 & 3 & ... & n\\
& & & &
\end{matrix}

Policzmy sumę tych liczb najpierw skupiając się na wierszach, a następnie na kolumnach.
Wierszami ...

Nie ma możliwości, żeby wyszło coś innego stopnia niż 8, więc raczej wyznaczanie x to kiepski pomysł. Poza tym samo polecenie sugeruje, że raczej trzeba szukać czegoś sprytniejszego.

No, mogę nawet to zredukować do jednego równania:
\(\displaystyle{ x^8-8x^6-12x^4-16x^2-x+2=0}\) (chyba się nie pomyliłem )
ale jest wyjątkowo nieładne.

Niewiele mi jednak to daje w kwestii poszukiwania sumy.

\(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R}}\)
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy \(\displaystyle{ x+y+z}\), gdy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
y=x^2-2\\
z=y^2-2\\
x=z^2-2
\end{matrix}\right.}\).

Proszę o jakąś podpowiedź.
Pozdrawiam.

Czy jest sens (nie chodzi o nabywanie doświadczenia) rozwiązywać zadania z 3 etapu?

3 etap to finał, nie wiem jak to się ma do trwającego pierwszego etapu Olimpiady.

To działa tak, że z 1 etapu przechodzi się do 2 i z 2 do 3, czy liczy się suma punktów z wszystkich 3 etapów?


Przechodzi się ...

Odnośnie rozwiązania zadania ósmego (rozwiązanie KPR):
Mógłby ktoś dokładniej wyjaśnić dlaczego "możliwych ustawień parzystości w kolumnach i wierszach" jest \(\displaystyle{ 2^{2n-1}}\)?

jak u Ponewora pokazujemy, że CR, PQ, ST tną się w jednym punkcie, teraz zapisujemy Menelaosa dla trójkąta AST i prostej PQ i wychodzi że PT=SQ , a to jest równoważne tezie

Ja tylko doprecyzuję, bo ktoś może też się będzie zastanawiał - wg rysunku Ponewora powinien być Menelaos dla prostej PQ i ...

Rozwiązanie do 3:
\sum_{k=1}^{n} p_k a_k = 1 \Rightarrow \forall_{A\in\mathbb{R}}
1=\sum_{k=1}^{n}(p_k-A)a_k + A\sum_{k=1}^{n}a_k

co razem z zastosowaniem nierówności Cauchy'ego-Schwarza daje

\left ( \left ( \sum_{k=1}^{n}(p_k-A)^2 \right ) + A^2 \right )
\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + \left ...

Dla a_1,...,a_n\in\mathbb{R}
1. takich, że \sum_{k=1}^{n}a_k=1 , znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \sum_{k=1}^{n}a_k^2 .

p_1,...,p_n są ustalonymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi

2. Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \sum_{k=1}^{n}p_ka_k^2 , gdy \sum_{k=1}^{n}a_k=1

3. Znaleźć ...

"Nie dowiedziona faktami lub dowodem matematycznym teoria to hipoteza. Zbiór podstawowych pojęć i twierdzeń teorii danej nauki nazywa się jej paradygmatem."

Jak justynianie odniesiesz się do tego? Może powinieneś edytować wikipedie.
Jestem też ciekaw, jaką literaturę możesz polecić, byśmy mogli ...