Matematyka.pl

Poprawną odpowiedzią jest, że nie da się oszukać celników. Łatwo się to pokazuje w układzie współrzędnych korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[]{x^2+y^2+z^2}\le \left| x\right| +\left| y\right| +\left| z\right|}\).

Niech a=BC,b=CA,C=AB . Nie zmniejszając ogólności rozważamy dwa przypadki: Przypadek 1. a\ge b\ge c Z twierdzenia cosinusów: CZ^{2}=\left(b-AZ\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle A)\right)\cdot2\cdot b\cdot AZ \ge\left(c-AZ\right)^{2}+\left(1-\cos(\angle B)\right)\cdot2\cdot c\cdot AZ =\left(c-BX\right)...

Mamy skończony zbiór liczb A z przedziału [0,1] taki, że 0,1\in A oraz x\in A dla x różnego od 0,1 implikuje istnieje różnych liczb a,b\in A takich, że \frac{a+b}{2}=x . Udowodnić, że wszystkie liczby w A są wymierne. Niech (a_1,a_2,...,a_n) będzie bazą A nad liczbami wymiernymi. Możemy założyć, że...

3. Znany jest fakt: F_{n} można interpretować jako liczba ciągów o wyrazach 1 lub 2 , których suma wyrazów wynosi n-1 . Liczba ciągów o wyrazach 1 lub 2 , których suma wyrazów wynosi 2n-1 jest równa F_{2n} . Policzmy tę liczbę inaczej. Ze zbioru \left\{ 1,...,n\right\} wybierzmy podzbiór k elementow...

2. Rozważmy punkty kratowe na pewnej przekątnej kwadratu. 1. Każdy zbiór dwuelementowy punktów wyznacza jednoznacznie prostokąt, którego dwa wierzchołki leżą na tej przekątnej. Liczba par punktów (i odpowiednich prostokątów) to {n+1 \choose 2} . 2. Każdy ciąg trójwyrazowy {a,b,c} rozpatrywanych punk...

26. Załóżmy, że istnieją x_i,x_j takie, że -\frac{1}{ \sqrt{3}} < x_i \le x_j<\sqrt{3} . Weźmy x_i^{'},x_j^' takie, że -\frac{1}{ \sqrt{3}} \le x_i^{'}< x_i \le x_j<x_j^{'} \le \sqrt{3} , x_i+x_j = x_i^{'}+x_j^{'} oraz -\frac{1}{ \sqrt{3}} = x_i^{'} lub x_j^{'} = \sqrt{3} . Funkcja f(x)=x^{12} jest ...

29. Znany fakt: a-b|f(a)-f(b) , f(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 - wielomian o współczynnikach całkowitych. Dowód. f(a)-f(b)= \sum_{k=1}^{n}a_k\left( a^k-b^k\right)= \left( a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a_k\left( a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots+b^{k-1}\right) Mamy 2k|f( \alpha +2k)-f( \alpha ) , więc 2|f( \alpha +2k)-...

35. Ustalmy x<y . Niech a=f(x), b=f(y) . Wtedy f\left( \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}y\right) = \frac{2}{3}a+ \frac{1}{3}b, f \left( \frac{3}{4} x+\frac{1}{4}y\right) = \frac{8}{9}a+ \frac{1}{9}b, f \left( \frac{1}{4} x+\frac{3}{4}y\right) = \frac{4}{9}a+ \frac{5}{9}b, f \left( \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}y...

Zad. 5 Dowód w "drugą" stronę. Wstawiamy p= \frac{b}{a+b}, q= \frac{a}{a+b} . Wtedy \frac{a^2b}{a+b} + \frac{b^2a}{a+b} > \frac{abc^2}{(a+b)^2} . Stąd (a+b)^2>c^2 , więc a+b>c . Wstawmy teraz p= -\frac{b}{c}, q= \frac{b+c}{c} . Wtedy -\frac{a^2b}{c} + \frac{(b+c)b^2}{c} > -\frac{b(b+c)c^2}...

Szkic rozwiązania. Niech (q_i) będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych ze zbioru I . Ustalmy q_i . Rozpatrując jednostronne granice dolne ilorazów różnicowych w punkcie q_i stwierdzamy, że istnieją a_i, b_i takie, że f(x) \ge a_{i}x + b_i i f(g_i)=a_{i}q_{i}+b_i , co geometrycznie oznacza, że ist...

Niech A=15a+6b+4c+8d=0 i f(x)=ax^3+bx^2+cx+d . Jeśli a=b=c=d=0 to np. f(1)=0 . Można założyć, że pierwsza niezerowa liczba w ciągu (a,b,c,d) jest dodatnia. Nie wprost. Niech f(x)>0 dla x>0 . Wtedy f(0)=d \ge 0 i f(2)+2f(1)>0 , ale f(2)+2f(1)=f(2)+2f(1)-A=-5a-5d<0 . Sprzeczność. (Mam nadzieję, że si...

Weźmy c>0 takie, że f(x)>0 dla x \in (-c,c) . Ustalmy x \neq 0 . Weźmy b>0 takie, że f(2^{k_0}x)=cos(2^{k_0}bx) dla pewnego całkowitego k_0 takiego, że 2^{k_0}x \in (-c,c) . Wtedy z równania funkcyjnego wynika, że f(2^{k}x)=cos(2^{k}bx) dla każdego k całkowitego. Ponieważ \lim_{k \rightarrow -\infty...

Firmowe rozwiązanie 6 można nieco uprościć. Niech a_k+a_{n+1-k}\geq2s i k\leq (n+1)/2 . Wtedy 2s\leq a_k+a_{n+1-k}\leq a_{k-1}+a_{n+1-k}\leq ... \leq a_{2}+a_{n+1-k} \leq a_{1}+a_{n+1-k} \leq a_{1}+a_{n-k} \leq a_{1}+a_{n-k-1} \leq ... \leq a_{1}+a_{2} , skąd otrzymujemy szukanych n-1 podzbiorów z w...