Matematyka.pl

odp. nie poniewaz jeżeli K jest cialem o charakterystyce zero wtedy jeżeli \(\displaystyle{ a,b \in K}\) \(\displaystyle{ ab=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\). Stąd iloczyn najwyższych współczynników f i g które nie są zerowe sam nie moze byc zerem stad st(fg)=st(f) + st(g)

masz \(\displaystyle{ aH=bH}\)

Pomnóż przez \(\displaystyle{ b^{-1}}\) lewostronnie.

Wtedy \(\displaystyle{ b^{-1}aH=H}\) czyli \(\displaystyle{ b^{-1}a}\) jest elementem należącym do \(\displaystyle{ H}\)

Ok. Wyraz wolny W(x) to \(\displaystyle{ w_0= a_1a_2...a_n-1}\). Nie jest on podzielny przez żaden z czynników \(\displaystyle{ a_i}\), dla \(\displaystyle{ 1 \leq i \leq n}\), \(\displaystyle{ w_0}\) nie może być on zatem produktem \(\displaystyle{ a_ka_l}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leq k,l \leq n}\). Czyli W(x) nie moze byc produktem dwóch wielomianów o współczynnikach \(\displaystyle{ a_i}\).

Niech \(\displaystyle{ y \in \cup B_v \Leftrightarrow y \in B_i}\) dla pewnego \(\displaystyle{ 1\leq i \leq v \Leftrightarrow f_i(w)=y}\). Stąd F jest suriekcją

\(\displaystyle{ 12x=3(mod15)}\)
\(\displaystyle{ 12x=15k+3}\)
\(\displaystyle{ 4x=5k+1}\)
\(\displaystyle{ 4x=1(mod 5)}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)

Obydwa zadania rozwiązać można za pomocą indukcji. a) Sprawdzamy dla n=3, a_3=1+1+1=3 , nieparzysta Załóżmy, że dla każdego n, a_n jest nieparzyste. Dla n+1 mamy a_{n+1}=a_n+a_{n-1}+a_{n-2} . Ponieważ, an+1 jest suma trzech liczb nieparzystych, tez musi byc nieparzyste. b) dla n=1 a_1=1 \leq 2^0=1 Z...

najpierw sprawdzilas dla n=2. Teraz skorzystaj z indukcji. Zalozmy ze dla dowolnego n powyzsza rownosc jest prawdziwa. Wtedy sprawdz czy dla n+1 tez jest, czyli \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2-1} =\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2-1} + \frac{1}{(n+1)^2-1} = \newline =\frac{3}{4}- \frac{2n+1}{2n(n+1)}+\frac{1}...

\(\displaystyle{ Q(x)=x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)=(x^3-1)(x+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{Q(x)}=P(x)Q(x)+r(x)}\) Gdzie \(\displaystyle{ r(x)=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x^2-1}=\frac{W(x)}{(x-1)(x+1)}=\frac{W(x)}{Q(x)}(x^2+x+1)=P(x)Q(x)(x^2+x+1) + r(x)(x^2+x+1)}\)
Odp. reszta to \(\displaystyle{ r(x)(x^2+x+1)}\)

Podstaw x=1, lewa strona jest zerem, więc P(1)=0. podstaw x=-2, po prawej masz 0, stąd P(-2+1)=P(-1)=0. Teraz podstaw x=-1, Ponieważ -1 jest pierwiastkiem prawa strona jest zerem, czyli P(-1+1)=P(0)=0.

Może spróbuj \(\displaystyle{ x:=tg^2(t)}\)

Niech S=(0,0) odległość pierwszego samochodu po czasie t można wyrazić wzorem a(t)=(-V1t,0). To samo dla drugiego b(t)=(0,10-V2t). v1=80km/h, V2=60km/h Korzystajac ze wzoru na odleglosc 2 punktow na plaszczyznie dystans d dany jest wzorem d(a,b)= \sqrt{ \left( a_1-b_1\right)^2 + \left( a_2-b_2\right...

Wielomian \(\displaystyle{ P_{(x)}}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x=0,x=-1,x=1}\). Załóżmy że\(\displaystyle{ P_{(x)}=x(x-1)(x+1)Q(x)}\). Podstawiając do równania otrzymujemy \(\displaystyle{ P_{(x+1)}=x(x+1)(x+2)Q(x)}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest funkcją stałą.

Odp. \(\displaystyle{ P_{(x)}=ax(x-1)(x+1)}\)

Weź na przykład \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-9)-1=(x-b_1)(x-b_2)}\). Gdzie \(\displaystyle{ b_1=5+ \sqrt{17}}\), \(\displaystyle{ b_2=5- \sqrt{17}}\). No i coś nie działa. Jesteś pewien co do treści?

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a(x)-b(x)}\). Gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są wielomianami mającymi miejsca zerowe rozmieszczone symetrycznie względem punktu y. Udowodnij, że f ma miejsca zerowe na linii \(\displaystyle{ \hbox{Re}(x)=y}\).