Matematyka.pl

Wskazać elementy wyróżnione w zbiorze:
\(\displaystyle{ A=\{ (x,y) \in R \times R: y=sinx \wedge x \in <0, +\infty) \}}\)
w porządku:
a) produktowym
b) leksykograficznym

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

Nadal nie umiem tego rozpisać :/. Nie wiem jak mam rozumieć to że \(\displaystyle{ 7sin ^{2} x}\) jest wektorem.

Podać współrzędne wektora \(\displaystyle{ 7sin ^{2}x}\) w bazie \(\displaystyle{ (3, cos2x)}\).

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

Wykazać, że dla dowolnego trójkąta odległość pomiędzy środkiem okręgu opisanego a okręgu wpisanego wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{R(R - 2r)}}\)

Z góry dzięki.

Niech dla x>0 \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\) jest liczbą całkowitą. Wykazać, że wówczas dla każdego naturalnego n liczba \(\displaystyle{ x ^{n} + \frac{1}{x ^{n} }}\) jest liczbą całkowitą.

Z góry bardzo dziękuję.

Wewnątrz kąta położony jest punkt M. Poprowadzić przez punkt M prostą l tak, by M był środkiem odcinka o końcach w punktach przecięcia prostej l z ramionami kąta.

Skonstruować równoległobok, którego środki trzech boków leżą w trzech zadanych punktach. Ile jest możliwych rozwiązań?

Z góry bardzo dziękuję.

Wykazać, że istnieją liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 5 ^{1000}}\) nie zawierające w swoim zapisie dziesiętnym ani jednego zera.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=3 \\ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 3 \\ x ^{5} + y ^{5} + z ^{5} = 3 \end{cases}}\)
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych.

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}}\)

Dzięki a macie jakiś pomysł na to pierwsze?

1. Pokaż, że część ułamkowa rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ (5+ \sqrt{26}) ^{n}}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ n}\) jednakowych cyfr.
2. Wykaż, że w ciągu Fibonacciego istnieje liczba kończąca się tysiącem zer.

Udowodnij:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = \sum_{j=1}^{n} (n - j + 1) \cdot j}\)

Udowodnij że dla rzeczywistych x, y, z
\(\displaystyle{ x ^{4} + y^{4} + z^{2} \ge \sqrt{8} xyz}\)

Udowodnić że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 3 + a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}}\)
Podobno trzeba to zrobić z nierówności pomiędzy średnimi... poratuje ktoś?