Matematyka.pl

Zobacz tutaj: może to coś rozjaśni.
A co do wykresu, to jeśli chcemy mieć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ y=x^2}\) musimy zawęzić dziedzinę (bo to nie jest funkcja różnowartościowa) i zawężamy ją do przedziału \(\displaystyle{ <0,+\infty)}\) a potem symetria względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

W takim punkcie, w którym pierwsza i druga jest równa zero nie będzie ektremum, ale może to być punkt przegięcia. Możesz to sprawdzić ma funkcji \(\displaystyle{ y=x^3}\).

przemek186, nie wiem (i pewnie nie tylko ja) o co chodzi w twoim pytaniu. Nie możesz wyznaczyć punktów stacjonarnych?

A wiesz nie wiem, czy mają jakąś specjalną nazwę, ale można o nich mówić (dopóki się tego nie rozstrzygnie) jako o możliwych punktach przegięcia.

Wygląd, że dobrze, tylko tego punktu nie nazywa się punktem stacjonarnym.

D_{f(x)}=R^+\\ D_{f'(x)} = R \setminus {0}\\ \\ \begin{cases} f'(x) =0 \\ x\in(0,+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x^2-1 =0 \\ x\in(0,+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{\sqrt{2}}{2} \vee x= -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x\in(0,+\infty) \end{cases} \Rightarrow \\ \...

Te nierówności źle rozwiązujesz (co jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=2x^2-1}\)?) i zapomniałeś o dziedzinie, Twoja funkcja nie istnieje dla ujemnych argumentów i równego zero (masz tam funkcję logarytmiczną).

Dokładanie, liczysz tylko to pole nad osią X. Te ramiona poniżej osi mają inne wzory : \(\displaystyle{ y=-\sqrt{x}\;\; y=-\sqrt{x-4}}\).

Granice całkowania w porządku, ale funkcje już nie.Potrzebujesz zależności \(\displaystyle{ y=f(x)}\), czyli:
\(\displaystyle{ 2 \left ( \int_0^5\sqrt{x} \mbox{d}x -\int_4^5 \sqrt{x-4} \mbox{d}x \right )}\).

No nie bardzo tak, wykresy tych dwóch pierwszych funkcji to parabole, ale ramiona mają wokół osi X a nie Y.

Cóż, najprościej to podstawić rozwiązanie do któregoś z równań.

Tylko o ile jest spełnione tw Schwarza tj. istnieją i są ciągłe pierwsze pochodne.
Dla większości funkcji tak właśnie jest i stąd czasem bałagan w notacji.

Jak dla mnie to:
\(\displaystyle{ \frac{\delta}{\delta x}\left( \frac{\delta f}{\delta y} \right)= \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y} = f''_{yx}(x,y)}\)

Ponieważ pierwsze pochodne wyglądają tak: \(\displaystyle{ f'_x(x,y),\;f'_y(x,y)}\) i przy liczeniu drugich uzupełniasz o drugą zmienną.

f'(x) =2x-\frac{1}{2x}\cdot 2= 2x- \frac{1}{x} Teraz szukasz miejsc zerowych pierwszej pochodnej i przedziałów w których jest większa i mniejsza od zera. Czyli: f'(x) =0 \Leftrightarrow x = ??\\ f'(x) > 0 \Leftrightarrow x\in ??\\ f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ?? Ponieważ w badanej funkcji pojawi...

Pochodna jest źle policzona.