Matematyka.pl

dzięki, jakie to proste xD

Dana jest suma częściowa szeregu: \(\displaystyle{ S_n = \frac{n+1}{n}}\) Jak znaleźć ogólny wyraz szeregu i jego sumę?

dziękuję, już w porządku, nie znałem tego twierdzenia.

wyszło, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) jest mniejsze od 1, ale dąży do 1. czy wtedy szereg będzie zbieżny?

Korzystając z tego udało mi się sprawdzić, że wyraz ciągu dąży do 0. Domyślam się, że nie o to chodziło...

a właśnie, bo tam \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n} }}\) dąży do 1 ale jest malejący, wiec \(\displaystyle{ \ge 1}\), a z kolei \(\displaystyle{ a_n}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\). więc to, że iloczyn mniejszy niż jeden wymaga jeszcze trochę pracy...

Jak udowodnić twierdzenie Picka dla trójkąta?
treść: Umieszczamy trójkąt w kratowej sieci. Jeśli wierzchołkami są pkty kratowe, to:
\(\displaystyle{ P = W + \frac{1}{2}B - 1}\), gdzie
P- pole
W- pkty kratowe wewnątrz trójkąta
B- pkty kratowe na krawedzi trójkąta

dzięki, to popróbuję : )

Po zastosowaniu kryt. Cauchyego dostaję \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}=1 \cdot \sqrt[n]{a_n}}\) co niewątpliwie jest dla dostatecznie dużych n mniejsze od jedynki, gdyż \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) W porzadku jest to co napisałem?

oczywiście masz rację. napisałem źle. już poprawione.

jak w temacie:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) zbieżny. Czy wynika z tego zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{1}{n} a_n)}\) ?

zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ( (-1)^{[ \sqrt{n} ]}\frac{1}{n})}\), gdzie [n] oznacza część całkowitą z n.

\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{1}{2}(a_n+b_n)}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}= \sqrt{a_nb_n}}\)
oznaczenia: \(\displaystyle{ \ b_1= \sqrt{ab} , \ a_1= \frac{1}{2}(a+b)}\)
Trzeba wykazać, że ciągi \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są zbieżne do tej samej granicy.