Matematyka.pl

Vax

Nie mam wymienionej książki Arthura Engela, ale nie wydaje mi się, żeby 2. było trudne: Niech c_i i b_i oznaczają odpowiednio liczbę czarnych i białych trójkątów o wierzchołkach w i -tym wierzchołku n -kąta, wówczas wedle założeń musi zachodzić c_i = b_i + 1 (czarnych jest więcej i muszą być na zmia...

Wygląda na to, że nie wiadomo

Nie wczytasz takiej liczby do żadnej zmiennej liczbowej, typ double może trzymać 16 cyfr znaczących, long double 20.

Z Jensena dla \sqrt{x} : \sum x\cdot \sqrt{\frac{1}{x^2+y+z}} \leq (x+y+z)\sqrt{\frac{1}{x+y+z} \sum \frac{x}{x^2+y+z}} Teraz mamy z C-S: (x^2+y+z)(1+y+z) \geq (x+y+z)^2 zatem \sum \frac{x}{x^2+y+z} \leq \frac{1}{(x+y+z)^2} \sum x(1+y+z) = \frac{x+y+z+2(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2} \leq 1 (ostatnie przejś...

7^a-3^b jest liczbą parzystą, więc a^4+b^2 musi być liczbą parzystą, więc a \equiv b \pmod 2 , ale wtedy 4 | 7^a-3^b , więc 4|a^4+b^2 , stąd 2|a i 2|b . Niech a = 2m , b = 2n . Mamy (7^m-3^n)(7^m+3^n) | 16m^4 + 4n^2 . Łatwo pokazać, że lewa strona jest podzielna przez 8 (dla nieparzystych a i b zac...

Zauważmy na początku, że jeśli b = 1 , to a = 3 i dane wyrażenie jest istotnie kwadratem. Załóżmy, że istnieją takie pary (a,b) , że 2k = 2\frac{a^2+b^2}{ab+2} nie jest kwadratem liczby naturalnej, weźmy taką parę o najmniejszej sumie a+b i a \geq b . Możemy również założyć, że b \geq 2 . Mamy a^2-...

M = 2 . Dla n = 4 sprawa jest prosta, mamy nierówność postaci x+\frac{1}{x} \geq 2 . Zajmijmy się przypadkiem n > 4 . Przyjmijmy bez straty ogólności, że a_n = \min(a_1,...,a_n) . Zachodzi: \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_n} + \frac{a_n}{a_{n-1}+a_1} + \frac{a_1}{a_n+a_2} \geq \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_1} ...

Niech a(a+b^3) = k^3 , weźmy dowolną liczbę pierwszą p dzielącą a w potędze m i b w potędze n . Jeżeli m>3n , to po lewej stronie p jest w potędze m+3n , stąd 3|m , jeśli m<3n , to po lewej stronie p jest w potędze 2m , stąd 3|m a jeśli m = 3n , to 3|m . Stąd wniosek, że 3|m , czyli a = t^3 , a stą...

Oznaczmy x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012} , y=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1006} . Mamy A = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{(2i-1)2i} = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i} = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{2i-1}+\frac{1}{2i}-\frac{1}{i} = x-y Ponadto B = \sum_{i=1007}^{2012}...

16. Zauważmy, że zachodzi a_n = 2^n\sin \frac{\pi}{2^n} , dla n=1 się zgadza, a dalej wykorzystując tożsamość |\sin\frac{x}{2}| = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} dowodzimy indukcyjnie. Stąd już widać, że \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^n\sin\frac{\pi}{2^n} = \pi \lim_{n \to \infty} \frac{\...

Marcinek665: Ładny, trickowy dowód.

A tak na serio, to \(\displaystyle{ \frac{x^7+1}{x+1} = 0}\).

Niech B = \sqrt[3]{\sin 3 \sin 2} Łatwo pokazać, rozważając funkcję G(x) = F(x) - x , że A<0 , wtedy A<0<B . Przyjmijmy, że ma być A= \cos(2)\sqrt[3]{\sin ( 3)}-\cos(3)\sqrt[3]{\sin (2)} . Wtedy \frac{A}{B} = F(2)-F(3)+1 . Obliczamy pochodną funkcji F , otrzymujemy F'(x) = \frac{-2(t-1)^2(t+\frac{1...

Np. tak: