Matematyka.pl

Alternatywnie możemy skorzystać z tego, że:

\(\displaystyle{ \gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)}\)

Niech \(\displaystyle{ f:[1,+ infty )
ightarrow left( 0,+ infty
ight)}\) będzie funkcją ciągłą.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_{1}^{x} f(t)dt \le f^2(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(x) \ge \frac{1}{2} (x-1)}\)

Szukam raczej elementarnego dowodu , nie jest mi potrzebna przestępność lecz sama niewymierność.

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{
2}^{ \sqrt{
2} }}\) jest niewymierna.

Niech ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie określony rekurencyjne następująco : \(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=1 \\ a_{n+1}=1+ \frac{1}{1+a_n} \end{cases}.}\)
Dodatkowo niech: \(\displaystyle{ \begin{cases} A=\{a_{2n-1}:n \in \mathbb{N} \} \\ B=\{a_{2n}:n \in \mathbb{N} \} \end{cases}.}\)

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sup A= \inf B.}\)

Pamiętaj o dziedzinie ;p

Zauważ, że \(\displaystyle{ \left( x-5 \right) ^2 \cdot \left( x+6 \right) ^2 = 100 \Leftrightarrow (x-5)(x+6)=10 \vee (x-5)(x+6)=-10.}\)

Proponowałbym wykończyć to tak: \begin{cases} a-b=3 \\ a^2+ab+b^2=63\end{cases} \Leftrightarrow \\ \begin{cases} a-b=3 \\ (a-b)^2+3ab=63 \end{cases} \Leftrightarrow \\ \begin{cases} a-b=3 \\ ab=18 \end{cases} \Leftrightarrow \\ \begin{cases} a+c=3 \\ ac=-18 \\ b=-c \end{cases} \Leftrightarrow \\ \be...

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=k(x^2+2xy+y^2-3xy)=k(k^2-3xy) Suma sześcianów przyjmuje minimum wtedy, gdy xy przyjmuje maximum. a powszechnie wiadomo, że przy zachowaniu sumy x+y wyrażenie xy ma maximum dla x=y Gdyby ktoś tego nie znał to robimy tak: x= \frac{x+y}{2}+\alpha , y= \frac{x+y}{2}-\alpha Wte...

\(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=k(x^2+2xy+y^2-3xy)=k(k^2-3xy)}\)

Suma sześcianów przyjmuje minimum wtedy, gdy \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje maximum.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x}{x^2+1^2}+ \frac{x}{x^2+2^2} + \frac{x}{x^2+3^2} +...+ \frac{x}{x^2+x^2} \right)}\)

Prawdę powiedziawszy nie mam żadnego pomysłu na ta granice. Proszę o pomoc.

Mi wyszło, że tych par jest nieskończenie wiele. \(\displaystyle{ (n,k)=(a^2+4a+2, \frac{a^2+3a}{2}}\)) , dla \(\displaystyle{ a \ge 2}\) ( oczywiście \(\displaystyle{ a \in Z}\) ).

Nie umiem udowodnić, że to wszystkie rozwiązania.

bzdury

Powyższe kąty są równe, bo są różnicami równych kątów.

Niech długości boków trójkąta będą wyrażone odpowiednio przez: n-1;n;n+1 . Zachodzi wtedy równość: n+(n+1)=(n-1)+S \Leftrightarrow \\ n+2= \sqrt{p(p-n-1)(p-n)(p-n+1)} \Leftrightarrow \\ (n+2)^2= \frac{(3n)(n-2)(n)(n+2) }{16} \Leftrightarrow \\ 16(n+2)=3n^2(n-2) \Leftrightarrow \\ n=4. Szukany trójką...