Matematyka.pl

Wikipedia w artykule https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_regularna podaje przykład przestrzeni \(\displaystyle{ T_3}\), która nie jest całkowicie regularna (chodzi o przestrzeń \(\displaystyle{ M}\) w sekcji Przykłady). Czy ktoś mógłby mi pokazać, dlaczego ta przestrzeń nie jest całkowicie regularna?

Widzę w tym zadaniu dwa małe błędy: po pierwsze wzór funkcji f nie określa jej w zerze ani w jedynce, wbrew temu co jest napisane dalej (ale domyślamy się, że chodzi o funkcję f , która ma f(0)=0=f(1) ), a po drugie sformułowanie "druga funkcja jest określona jako g(x)=... " jest trochę niejasne. Ja...

No dobrze, to dalej: jak rozwiązać równanie jednorodne drugiego rzędu? Ale nie ze stałymi współczynnikami. Konkretnie to mam \(\displaystyle{ x'' = -\frac{9}{16t^2}x + \frac{3}{4t}x'}\)

Hej Miśki! Jak się rozwiązuje układ takiego typu

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x_1'(t) \\ x_2'(t) \end{array} \right) = A(t) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1(t) \\ x_2(t) \end{array} \right) + \left(\begin{array}{c}c_1 \\ c_2 \end{array} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą 2x2?

1. \(\displaystyle{ \ln(1)=0<1}\)
2. Weźmy dowolną \(\displaystyle{ n>1}\) i załóżmy, że dla \(\displaystyle{ k<n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(k)<k}\). Wobec tego \(\displaystyle{ n= n-1 +1> \ln(n-1) + 1 > \ln(n-1) + \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) = \ln(n)}\). W tej nierówności skorzystaliśmy między innymi z \(\displaystyle{ k>\ln(k)}\) dla \(\displaystyle{ k=n-1}\).

1. to baza indukcji, a 2. to krok indukcyjny. Jasne?

Jeżeli \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jest częściowo uporządkowany, to mówimy że \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) jest liniowo uporządkowany, gdy \(\displaystyle{ \bigwedge_{x,y\in A}x\ge y \ \vee \ x \le y}\)

Czyli tak, oczywiste

Jak udowodnić, że proces o przyrostach niezależnych jest procesem Markowa? Niech (X_t, \mathcal{F}_t)_{t\ge 0} będzie procesem o przyrostach niezależnych, wtedy dla dowolnego borelowskiego A oraz t>s mamy P(X_t \in A | \mathcal{F}_s) = P(X_t - X_s +X_s \in A| \mathcal{F}_s) = \dots = P(X_t - X_s +X_...

Faktycznie, nie jest. Dowód można znaleźć na stronach Wikipedii, wolnej encyklopedii, którą każdy może redagować

Dalej to już chyba ręcznie... 34 \equiv -7 \pmod{41} \\ 34^2 \equiv (-7)^2 = 49 \equiv 8 \pmod{41} \\ 34^4 \equiv 8^2=64 \equiv 23 \pmod{41} \\ 34^5 \equiv (-7) \cdot 23 = -161 \equiv 3 \pmod{41} \\ 34^{31} = 34^{30} \cdot 34 = (34^5)^6 \cdot 34 \equiv 3^6 \cdot (-7) = 81 \cdot 9 \cdot (-7) \equiv (...

Źle Doszedłeś do tego, że ta kombinacja jest równa zero, gdy współczynniki to a, -\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3} , a więc współczynniki nie muszą być równe zero. Stąd należy wyciągnąć wniosek, że ten układ jest liniowo zależny. Tylko w przypadku gdyby wyszło że ta kombinacja jest równa zero wtedy i tylk...

Ja bym sprawdził 6 przypadków: \(\displaystyle{ x\le y \le z}\) itp.

Jak wygląda taki zwój papieru? Ma kształt walca? Jakie wymiary? Jaka jest grubość kartki papieru?

Dobrze

Można się zastanowić, czy prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{7} = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} \right)}\)

Ja rozumiem \(\displaystyle{ (f\times g)(x,y)}\) jako \(\displaystyle{ (f(x),g(y))}\)

Tak, jest taka równość. Ogólnie \(\displaystyle{ \dim(X+Y)=\dim(X)+\dim(Y)-\dim(X \cap Y)}\). W przypadku sumy prostej mamy \(\displaystyle{ \dim(X\cap Y) = \dim(\{0\}) = 0}\)