Matematyka.pl

Z przyjemnością zapraszamy wszystkich studentów matematyki (i nie tylko) na Ogólnopolską Konferencję Studentów Matematyków θβℓιcℤε 2014 , która odbędzie się w dniach 9-11 maja 2014 r. (piątek - niedziela) na Wydziale Matematyki i Informatyki UAM w Poznaniu. Dotyczyć ona będzie matematyki we wszystki...

Bardziej "konkursowe" w stylu Pawłowskiego jest np. "Putnam & Beyond" Andreescu, "Berkley Problems in Mathematics", "The Red book of Mathematical Problems", "The Green book of Mathematical Problems", "Gabor J. Szekely - Contests in Higher Ma...

W tym roku stypendium dostało 78 z trochę ponad 200 osób zaczynających matematykę ("trochę" więcej niż 10%). Punkty są chyba liczone jak przy rekrutacji, z tym że wiele osób wypada z rankingu (drugi kierunek). Nie jestem pewien, ale wiele może się zmienić w przyszłym roku, bo w tym roku (o...

Niech c=\prod_{i=1}^{n}(a_j+b_i) dla j=1,2,..., n. Rozważmy wielomian: W(x)=(x+b_1)(x+b_2)\cdot ... \cdot (x+b_n)-c Oczywiście W(a_j)=0 dla j=1,2,..., n, więc a_1, a_2, ..., a_n są wszystkimi pierwiastkami W i jako że W jest unormowany to: W(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdot ... \cdot (x-a_n)=(x+b_1)(x+b_2)\c...

Skoro nikt jeszcze nie przedstawił dowodu do IMO4, to pokażę swój (ale nie krępujcie się, chętnie zobaczę coś lepszego) Niech: K_{ij}=\sum_{1 \le k,l \le n; \quad k \neq i, l \neq j}(a_{ij}+a_{kl}-a_{il}-a_{kj})^2 (sumujemy po wszystkich k,l różnych od i,j) Wtedy: \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n...

W siódmym a oraz b nie mogą być zerowe, nie? (kontrprzykład: a=3, b=0, x=3, y=1) ax+by \equiv 0 \pmod{a^2+b^2} Mamy: ab(x^2+y^2) = ax \cdot bx + ay \cdot by \equiv (-by) \cdot bx + (-ax) \cdot ay \equiv -xy (a^2+b^2) \equiv 0 \pmod{a^2+b^2} czyli a^2+b^2|ab(x^2+y^2) gdyby te liczby były względnie pi...

Czy obliczanie granic funkcji, pochodnych funkcji i całek może się przydać na OM? Jak najbardziej nie (hmm, do Jensena i sprawdzania wypukłości czasem 2ga pochodna, ale w rzeczywistości to się rzadko przydaje). Ewentualnie czasem na olimpiadzie fizycznej trzeba coś scałkować. Co Ci się na 100% przy...

W kółku Pawłowskiego udowadniało się to bodajże minimami funkcji, ale mnie zastanawiało zawsze, jak zrobić to klasycznie :P W końcu kiedyś tam znalazłem: Z Cauchy'ego-Schwarza: (\sum (a_i -b_i))^2 \le (\sum \frac{(a_i-b_i)^2}{a_i+b_i}) (\sum (a_i+b_i)) \quad (*) Ponadto: (\sum a_i)(\sum b_i) = \frac...

nagród rzeczywiście nie musi być :) jak dla mnie jednak przydałby się ranking jako element rywalizacji. pierwsze poprawne rozwiązanie mogłoby dostawać np. 3 pkty, inne poprawne po 1 pkt, albo jakoś tak. Po za tym okres maturalny powoli się kończy i może to troszeczkę zwiększy frekwencję (moją na pew...

Rozłóżmy wielomian z^{2001}-1 na czynniki liniowe (): z^{2001}-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000}) Z drugiej strony, możesz skorzystać ze wzoru na różnicę potęg 2001-szych: z^{2001}-1=(z-1) \cdot (??) Porównując obydwie formy W(x), stwierdzasz, że (z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000})=?? i wystarczy teraz,...

Pamiętam to zadanie też mi się wydawało łatwe, ale takie banalne to znowu ono nie jest (moim zdaniem)... Pochodzi z Tournament of Towns Fall 2004, Senior-A Level. Link do stronki Tournament of Towns, jest tam bardzo wiele zadań: http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives.php Link do rozwiązania ...

Niech \alpha(n) oznacza ilość liczb niebezwadratowych (podzielnych przez kwadrat jakieś liczby pierwszej), mniejszych od n. Załózmy nie wprost, że dla pewnego m naturalnego oraz dowolnego naturalnego x mniejszego od m przynajmniej jedna z liczb x, m-x jest niebezkwadratowa. Oznaczałoby to, że \alph...

Zgodnie z treścią zadania: a+b=c+d+e (1) a^2+b^2+c^2=d^2+e^2 (2) Załóżmy nie wprost, że obie z liczb a,b nie są złożone (czyli są pierwsze lub równe 1). Podnieśmy równanie (1) stronami do kwadratu: a^2+2ab+b^2=c^2+d^2+e^2+2cd+2ec+2de Odejmijmy teraz równanie (2) stronami od równania (3): 2ab-c^2 = ...

oficjalnych odpowiedzi dla drugiej edycji konkursu jeszcze nie ma, zapewne pojawią się po zakończeniu całego konkursu. część rozwiązań znajdziesz na forum w temacie: Wielkopolska Liga Matematyczna
w razie pytań lub jakbyś szukał rozwiązań innych zadań z ligi, pisz do mnie na PW lub tym temacie

Załóżmy, że |z_1|=|z_2|=|z_3|=1 (zadanie da się łatwo sprowadzić do tego przypadku).Wtedy: z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})=z_1z_2z_3\overline{(z_1+z_2+z_3)}=0 Rozpatrzmy wielomian W(x) o pierwiastkach z_1, z_2, z_3 : W(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)=x^3-(z_1z_2...