Matematyka.pl

1. Niech X będzie zbiorem nieskończonym i niech \tau=\{A\subset X: X \setminus A\mbox{ jest skończony}\} . Pokazać,że \tau\cup\o jest topologią na X oraz (X, \tau ) nie jest Hausdorffa. 2. Pokazać, że prosta rzeczywista \mathbb R jest przestrzenią spójną. 3. Pokazać, że każda przestrzeń metryczna zw...

1. Odległością zbioru A od zbioru B nazywamy liczbę \rho(A,B)=inf {d(x,y): x \in A, y \in B} . W szczególności biorąc A={x} otrzymujemy definicję odległości punktu x od zbioru B: \rho(x,B)=inf {d(x,y): y \in B} . Obliczyć odległość punktu (3,4) od kwadratu [0,1]*[0,1] w przestrzeni R^{2} z metryką e...

1. Dla jakich wartości parametru m(\(\displaystyle{ m \in R}\)) równanie:
a) \(\displaystyle{ \frac{2}{mx-2}= \frac{1}{9x-m}}\) nie ma rozwiązań?
b) \(\displaystyle{ \frac{3}{2x-m}= \frac{4}{mx-8}}\) ma ujemne rozwiązanie?
2. Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+k \sqrt{x}=k}\) w zależności od rozbieżności parametru k.

1. Tenisiści A i B mają rozegrać dwa spotkania. Prawdopodobieństwo, że pierwsze spotkanie wygra zawodnik A, wynosi 0,6. Jeśli rzeczywiście je wygra, prawdopodobieństwo wygrania drugiego spotkania wynosi 0,7. Jeżeli pierwsze spotkanie przegra zawodnik A, to prawdopodobieństwo jego wygranej w drugim s...

1. Rzucamy monetą i sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a. Wypadnie szóstka i orzeł b. Wypadnie reszka i parzysta liczba oczek c. Wypadnie reszka i pięć oczek d. Na kostce nie wypadnie szóstka 2. W trzech urnach znajdują się kule: w pierwszej urnie – osiem kul białych i dwie kul...

Czy takie ograniczenia jest dobre i dlaczego?
\(\displaystyle{ \biggl|\sum_{n=1}^{N}\sin n\alpha\biggr|\leqslant \frac{1}{\sin(\alpha /2)}}\)

obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \frac{n!}{ n^{n} } z^{n}}\)

Styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=6 \sqrt{x}}\) w punkcie P jest nachylona do osi x pod kątem 60 stopni.Znajdź współrzędne punktu P.

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{5x+1}{2x^{2}+1}}\) w punkcie (-2,-1)

oblicz granice:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\cos \left(\frac{1}{n}\right) + 7n\,\text i\,\sin \left( \frac{1}{n}\right)}{ \sqrt[3]{3}+\text i\,\sqrt[n]{n}}}\)

Przyjmijmy,że funkcje f i g są określone na zbiorze liczb rzeczywistych. Niech h(x)=f(x)+g(x). Czy jeśli funkcja f jest nieparzysta, to funkcja h też jest nieparzysta? Odpowiedz uzasadnij.bez podawania przykładów.

1. Dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 1, a ostatni wyraz - czterdziesty - jest równy 11. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
2. Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych parzystych liczb naturalnych.

Składniki sumy \(\displaystyle{ 2 + 2 \cdot \sqrt{2} + 4 +... + 16 \cdot \sqrt{2}}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz tę sumę.

w pewnym banku oprocentowanie lokaty trzymiesięcznej wynosi 6% w skali roku. Po upływie terminu lokaty bank dopisze nam odsetki pomniejszone o podatek, który wynosi 20% kwoty odsetek. a) o jaki procent wzrośnie po trzech miesiącach kwota wpłacona na tę lokatę po dopisaniu odsetek pomniejszonych o po...

1.Cenę pewnego towaru zmniejszono po sezonie o 36%. Przed następnym sezonem podwyższono cenę do poprzedniej wysokości. O jaki procent wzrosła wówczas cena tego towaru? 2. Na lokatę roczną, której oprocentowanie netto, czyli po uwzględnieniu podatku od odsetek, wynosi 6%, wpłacono kwotę 10 tys. zł. O...