Matematyka.pl

Przykładowo możesz znaleźć takie \(\displaystyle{ x_0, y_0 \in \mathbb{N}}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge x_0}\) i \(\displaystyle{ y \ge y_0}\) jest

\(\displaystyle{ 2 \left( 1 + \frac{1}{y} \right) < \frac{5}{2} < 3 - \frac{1}{x}}\),

jak w definicji granicy.

Może chodzi o coś à la: dzieląc stronami przez 2xy (odnotowując, by zerowe rozwiązania sprawdzić osobno), dostajemy 3 - \frac{1}{x} = 2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right) . Gdy x i y są dostatecznie duże, lewa strona jest bliska trójki, a prawa - dwójki, zatem równanie nie jest spełnione. Wystarcz...

Tworzyk pisze: ↑18 kwie 2024, o 11:23 \(\displaystyle{ (x_{n} = x_{n} + x_{n} ^{*}) }\)
Następnie przewiduje rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ x_{n} ^{*} = C\cdot n\cdot 3 ^{n} }\)

Nie wiem skąd jest ten fragment i wszystko później. Przecież zgodnie z procedurą należy podstawić warunki początkowe do wzoru \(\displaystyle{ x_n = A \cdot 3^n + B \cdot 7^n}\) i wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) ?

Wymnóż, przenieś na jedną stronę i spróbuj zwinąć.

A ponieważ chyba mało kto pamięta wzory na długość krzywej we współrzędnych biegunowych, sugerowałbym przetłumaczyć na współrzędne kartezjańskie: \begin{cases} x(t) = r(t) \cos \alpha(t) = \ldots \\ y(t) = r(t) \sin \alpha(t) = \ldots \end{cases} i użyć wzoru na długość krzywej w takichże współrzędn...

Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 , 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0 T...

Jeśli lewa strona równania ma się zapisać jako (ax+by+c)(dx+ey+f) , to zgadzać się muszą części kwadratowe, tj. 2x^2+xy-y^2 = (ax+by)(dx+ey) . Taki wielomian łatwo rozłożyć na czynniki techniką jak dla równań kwadratowych, otrzymując 2x^2 + xy - y^2 = (x+y)(2x-y) . Teraz przyszła kolej na porównanie...

Weźmy takie b \in \mathbb{Z} , że ba \equiv -1 \pmod{p} . Na mocy Chińskiego Twierdzenia o Resztach układ \begin{cases} n \equiv b \pmod {p} \\ n \equiv 1 \pmod{p-1} \end{cases} ma nieskończenie wiele rozwiązań n \in \mathbb{N} . Wystarczy wykazać, że każde z nich spełnia warunek zadania. Na mocy M...

Okrąg o promieniu zero to nie okrąg, tylko punkt (formalnie: singleton punktu).

W odnośnym artykule nie rozwiązuje się zadania czwartego, bo on nie jest o rozkładzie przestrzeni na okręgi, tylko na ich homeomorficzne kopie.

Bez straty ogólności a < 1 . Wystarczy wykazać, że \frac{d_n}{D_n (D_{n-1})^a} \le c \cdot \left( \frac{1}{(D_{n-1})^a} - \frac{1}{(D_n)^a} \right) dla pewnej stałej c > 0 , bo wyrazy po prawej stronie tworzą zbieżny szereg teleskopowy. Podstawiając x = D_{n-1} , y = D_n , mamy równoważnie: \begin{a...

Nie - skorzystaj z własności trójkątów o kątach \(\displaystyle{ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}}\).

Gdy x uznamy za ustalone, to m i M są funkcjami x_1 , mianowicie: m(x_1) = \inf_{t \in [x, x_1]} f(t), \\ M(x_1) = \sup_{t \in [x, x_1]} f(t). Autorzy stwierdzają, że \lim_{x_1 \to x^+} m(x_1) = \lim_{x_1 \to x^+} M(x_1) = f(x) . Nawiasem mówiąc, twierdzenie Weierstrassa nie jest do tego potrzebne. ...

Wskazówka: potrafisz znaleźć długość boku \(\displaystyle{ T_2}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) ?

Na przykład kwadrat?