Matematyka.pl

Nie mogę ogarnąć na jakiej zasadzie są te zmienne zamieniane, mamy naprzykład
\(\displaystyle{ dy= 10^{t+y}}\) w jaki sposób wylicza się takie równania.

Rząd to stopień największego niezerowego minora, czyli w tym wypadku 2

Jądro przekształcenia jest to przeciwobraz wektora zerowego czyli dla f:V \rightarrow L jest to taki wektor z przestrzeni V którego wartość po przekształceniu jest równa zeru f(v)=0. Czyli
\vec{v}=(x,y,z)\\
f(\vec{v})=(2x-y+z,x+2y-z,-x+3y-2z,8x+y+z)=(0,0,0,0)\\
\begin{cases} 2x-y+z=0\\ x+2y-z=0 ...

Skorzystaj z Twierdzenia że Zbiór \(\displaystyle{ W \subset V}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ \vec{v_1},\vec{v_2}\in W}\) oraz dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2\in \mathbb R}\) wektor \(\displaystyle{ \alpha_1\vec{v_1}+\alpha_2\vec{v_2}\in W}\).

można również wyliczyć z definicji czyli
\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n\in\mathbb R \wedge \alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_n^2>0}\underbrace{\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0}_{Kombinacja liniowa} \wedge 0\ in \mathbb R^n}\)

Można skorzystać z twierdzenia że suma wymiarów jądra i obrazu są równe wymiarowi przestrzeni, tutaj wymiar przestrzeni =4, wymiar obrazu 2, więc wymiar jądra również 2. Mam nadzieję że tak;p

Robisz macierz współczynników rozszerzoną o wyniki A|U czyli
A|U=\begin{bmatrix} 2&7&3&1&|6\\3&5&2&2&|4\\9&4&7&7&|2\end{bmatrix}

Sprowadzasz do postaci schodkowej z wykorzystaniem elementarnych operacji na wierszach, i ewentualnie możesz przestawiać kolumny ale musisz później pamiętać jakie ...

To że współczyniki będą 1, -1 czy 0 to nic nie zmiena tak samo tworzysz macierz A|U i doprowadzasz do postaci schodkowej.
Przykłady:

\begin{cases} x+2y-z-t=1 \\ x+y+z+3t=2 \\ 3x+5y-z+t=3 \end{cases}
\begin{cases} 2x+y-z+t=1 \\ y+3z-3t=1 \\ x+y+z-t=1 \end{cases}

Zadania pochodzą z książki ...

Przestawiać kolumny też możesz, ale musisz pamiętać że zamieniłeś zmienne miejscami;)

Sprawa jest prosta, budujesz macierz współczynnikiów rozszerzoną o wyniki czyli:

\begin{bmatrix} 1&-2&1& | 3\\1&3&-1& | 1\\3&4&-1& | 5\end{bmatrix}

Teraz trzeba sprowadzić tą macierz do postaci schodkowej czyl odejmujemy wiersz 1 od drugiego i 1 od potrojonego 1.

\begin{bmatrix} 1&-2&1& | 3\\0 ...

Czyli jeżeli dobrze rozumiem to dla t=1 równania:
3+5t=8+3t
-1+2t=1+t
2+4t=6-2t

muszą być spełnione

Mogłby mi ktoś popdowiedzieć?
Zadanie...
Sprawdź czy proste
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{5}= \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{4} oraz \frac{x-8}{3} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2}}\)
się przecinają jeżeli tak to napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez te proste... Bardzo proszę o pomoc...

Jest to odwzorowanie
f:\mathbb R^3\longmapsto\mathbb R^4, f(x,y,z)=f(2z,3x+y,6x+2y,z-3x-y)
czyli
(2z,3x+y,6x+2y,z-3x-y)=(0,0,0,0)
z tego wynika układ czterech równań o 3 niewiadomych
\begin{cases} 2z=0 \\ 3x+y=0 \\ 6x+2y=0 \\ z-3x-y=0 \end{cases}

i teraz

ker f\{v\in\mathbb R^3: v=(x, y, z ...

Nie.
\(\displaystyle{ z2 = \frac{\begin{vmatrix}1+i&1+i\\1-i&1+3i\end{vmatrix}} {4i}=\frac{(1+i)(1+3i)-(1-i)(1+i)} {4i}=\frac{1+4i+3i^2-1+i^2} {4i}=\frac{4i(1+i)} {4i}=1+i}\)

No ok tyle to i ja wiem, ale mając 2 równania z czterema zmiennymi to oznacza że będą 2 wektory w bazie tego jądra?