Matematyka.pl

Jak obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{x}}\)? Z definicji raczej ciężko, myślałem, żeby skorzystać ze wzorów:
\(\displaystyle{ (x^n)' = nx^{n-1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ (a^x)' = a^xln(a)}\)
ale nie bardzo wiem jak (w jakiej kolejności?) je w tym szczególnym wypadku zastosować

Faktycznie wystarczy dobrać odpowiedni wzór redukcyjny, jak to uczynił klaustrofob. Dzięki

\begin{cases} cosx=- \frac{1}{2}\\sinx= \frac{ \sqrt{3} }{2}\end{cases} Gdyby cosx nie był ujemny, to byłoby wiadome, że x= \frac{\pi}{3} +2k \pi . W jaki sposób mogę szybko obliczyć x? Podejrzewam, że istnieje jakaś zależność między kątem \frac{\pi}{3} , a szukanym. Wiadomo, że kąt należy do drugi...

Racja, błąd w rachunkach dzięki za pomoc

\(\displaystyle{ (x+iy)^2=4(x-iy)}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2+2xyi=4x-4yi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=4x\\2xy=-4y\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=4}\)
\(\displaystyle{ z=-2+4i}\)
Czy rozwiązanie tego zadania w ten sposób jest poprawne?

Dzięki za odpowiedź. Drugi przykład skumałem (wystarczy wyciągnąć 5^n przed nawias w liczniku i 4^n w mianowniku). Co do pierwszego przykładu to intuicja podpowiada, że ciąg dąży do 1 - w końcu pierwiastek z rosnącym stopniem z malejącej liczby, większej od jeden. Ale wiem, że na kolokwium musiałbym...

Uzasadnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} log _{2}(n+3) = \infty}\).
Widać "gołym okiem", że tak jest ale jak to uzasadnić?

Faktycznie, dzięki. Mam jeszcze jeden przykład, chyba trochę trudniejszy bo nie mogę go rozgryźć:

\(\displaystyle{ cos(arcsin(\frac{-1}{3})+arccos \frac{2}{3})}\)
Jakieś wskazówki?

\sqrt[n]{ 3^{n} }< \sqrt[n]{3^n + 4^n} 3<\sqrt[n]{3^n + 4^n} czyli mamy ograniczenie z dołu przez liczbę 3, natomiast druga liczba podana przez Ciebie nic mi nie mówi --EDIT teraz zauważyłem, że napisałeś \sqrt[n]{4^n} , a ja przez pomyłkę obliczyłem dla \sqrt[n]{3^n} , ale to nie robi różnicy gdyż...

Jak zbadać, czy ciąg a_{n} = \sqrt[n]{3^n + 4^n} jest ograniczony? Wiem kiedy ciąg jest ograniczony z dołu i z góry (wtedy, kiedy każdy jego wyraz jest większy/mniejszy od jakiejś liczby rzeczywistej), ale nie znam jednoznacznej metody na sprawdzenie tego. Proszę bardziej o jakieś wskazówki niż o ro...

...do funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=tgx, x \in ( -\frac{3 \pi}{2}; -\frac{ \pi}{2} )}\)