Znaleziono 1697 wyników

autor: timon92
24 mar 2024, o 12:32
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: Limes z e
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 303

Re: Limes z e

wykorzystując \(\left(1+\frac 1N\right)^N < e \) dostajemy \frac{e^n}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} > \frac{\left(1+\frac{1}{kn}\right)^{kn^2}}{\left(1+\frac 1n\right)^{n^2}} = \left(\frac{\left(1+\frac{1}{kn}\right)^k}{1+\frac 1n} \right)^{n^2} = \left(\frac{1+\frac 1n + \frac{k-1}{2k} \frac{1}{n^...
autor: timon92
19 mar 2024, o 18:55
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [MIX] Mix matematyczny 47
Odpowiedzi: 12
Odsłony: 811

Re: [MIX] Mix matematyczny 47

9 wciąż mało ciekawe:    
autor: timon92
19 mar 2024, o 17:36
Forum: Zbiory. Teoria mnogości
Temat: Teoria mocy zbiorów
Odpowiedzi: 72
Odsłony: 12015

Re: Teoria mocy zbiorów

Ośrodek to taki podzbiór przestrzeni topologicznej, który ma niepusty przekrój z każdym otwartym (niepustym) jej podzbiorem. Zaczynając od funkcji ciągłej f \colon \mathbb Q \to \mathbb R (przy czym na zbiorze liczb wymiernych mamy topologię podprzestrzeni) możesz zdefiniować jej przedłużenie  f \c...
autor: timon92
10 mar 2024, o 00:22
Forum: Inne funkcje + ogólne własności
Temat: Funkcja nieokresowa
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 135

Re: Funkcja nieokresowa

gdyby \(f\) była okresowa, to jej pochodna też by była okresowa

tymczasem \(f'(x)=-3x^2\sin(x^3)\), jest to nieograniczona funkcja ciągła, więc nie może być okresowa
autor: timon92
24 lut 2024, o 21:14
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Szczególny trójkąt
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 153

Re: Szczególny trójkąt

Gouranga pisze: 17 lut 2024, o 15:47skoro iloczyn 4 nawiasów ma być kwadratem, to iloczyn dwóch z nich musi być równy iloczynowi dwóch pozostałych
nieprawda, np. \(4\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\) jest kwadratem, ale nie jest prawdą, że iloczyn którychś dwóch czynników jest równy iloczynowi pozostałych dwóch czynników
autor: timon92
24 lut 2024, o 12:26
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Kąt w trójkącie
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 217

Re: Kąt w trójkącie

\(P\) --- rzut \(I\) na \(AB\) \(Q\) --- rzut \(I\) na \(AM\) \(R\) --- przecięcie \(AI\) z \(BC\) należy udowodnić, że \(IP=2IQ \iff \sin\angle BAI = 2 \sin \angle IAQ\) z twierdzenia sinusów w trójkątach \(BAR\) i \(RAM\) jest \(\sin \angle BAI = \dfrac{BR\sin\angle ARB}{AB}\) i \(\sin\angle IAQ =...
autor: timon92
21 lut 2024, o 01:19
Forum: Szeregi liczbowe i iloczyny nieskończone
Temat: Szereg iloczynu
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 115

Re: Szereg iloczynu

@Pszemek, przypuszczam, że założenia są trochę słabsze, tzn. zakładamy jedynie, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest zbieżny, a nie, że szereg \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) jest zbieżny

Twój pomysł dalej działa i tak naprawdę wystarczy zakładać, że ciąg \(b_1,b_2,\ldots\) jest ograniczony
autor: timon92
31 sty 2024, o 23:00
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: XIX OMJ
Odpowiedzi: 19
Odsłony: 1874

Re: XIX OMJ

możesz wyjaśnić, skąd taka opinia o Sylwku? nie zauważyłem, żeby jego wpisy na forum cechowały się wybitnym zarozumialstwem, niemiłością czy nadąsaniem
autor: timon92
17 sty 2024, o 10:40
Forum: Planimetria
Temat: Cięciwa
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 233

Re: Cięciwa

środek okręgu \(O\) leży na dwusiecznej kąta zewnętrznego \(CED\) (bo \(\angle BEC = \angle DEA\)) i spełnia \(OD=OE\), więc \(O\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(CDE\) (i jest łukiem dłuższego łuku \(CD\) tego okręgu), więc \(\angle COD = \angle CED = 60^\circ\), więc trójkąt \(COD\) jest ró...
autor: timon92
17 sty 2024, o 09:39
Forum: Planimetria
Temat: Cięciwa
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 233

Re: Cięciwa

\(CD=\frac 12 AB=8\) i żeby to wyliczyć nie trzeba mieć nawet informacji na temat długości \(AE\) i \(EB\)
autor: timon92
6 sty 2024, o 13:42
Forum: Planimetria
Temat: Elipsa
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 142

Re: Elipsa

tak
autor: timon92
4 sty 2024, o 10:16
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: Ładna Granica
Odpowiedzi: 23
Odsłony: 1639

Re: Ładna Granica

W piśmie pisze: jest napisane a żeby nie było, że uprawiam offtop, to pokażę teleskop (nie czuję kiedy rymuję) \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac nk} - 2n = \sqrt n \left(\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac 1k} - 2\sqrt n \right) = \sqrt n\left(1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt k} - 2\sqrt n\right) < \sqr...
autor: timon92
3 sty 2024, o 17:47
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: Ładna Granica
Odpowiedzi: 23
Odsłony: 1639

Re: Ładna Granica

o ile się nie pomyliłem w rozpisywaniu, mamy \(\displaystyle a_n := \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}-2\sqrt n = \sum_{k=1}^n \frac{-1}{\sqrt k (\sqrt k + \sqrt{k-1})^2}\) i w związku z tym \(a_n\) jest sumą częściową zbieżnego szeregu \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{-1}{\sqrt k (\sqrt k + \sqrt...
autor: timon92
3 sty 2024, o 09:02
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: Ładna Granica
Odpowiedzi: 23
Odsłony: 1639

Re: Ładna Granica

Dasio11 pisze: 3 sty 2024, o 00:43 Twierdzenie Stolza wymaga, by mianownik rósł do nieskończoności.
jest wersja twierdzenia Stolza, w której mianownik monotonicznie dąży do zera, ale wtedy trzeba jednocześnie założyć, że licznik dąży do zera
autor: timon92
2 sty 2024, o 17:19
Forum: Własności i granice ciągów
Temat: Ładna Granica
Odpowiedzi: 23
Odsłony: 1639

Re: Ładna Granica

\(\displaystyle\sqrt{ \frac{n}{1} } +...+\sqrt{ \frac{n}{n} } - 2n = \frac{\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\ldots+\frac{1}{\sqrt n} - 2\sqrt n}{\frac{1}{\sqrt n}}\), więc dobrym pomysłem może być korzystanie ze Stolza