Matematyka.pl

Pomylono się wielokrotnie, a czasami bardzo owocnie. Każdy poprawnie przeprowadzony argument zyskuje w matematyce nieśmiertelność. Teorie matematyczne są przechowywane w mózgach (i innych nośnikach informacji), ale matematycy jedynie gromadzą argumenty, lub jedne zastępują innymi dla wygody (bo krót...

Dość trudno jest wskazać chybione idee matematyczne. Ja w każdym razie nie potrafię (dość blisko zdawały się być idee Wrońskiego, którego matematyka była raczej filozofią, ale ostatecznie i one doczekały się uznania). Współcześnie idee matematyczne zaczynają się od postawienia problemu, a chybioność...

Dobrze masz. Został drobiazg arytmetyczny. Ale wypiszę całość: Wyraźmy obwód przy użyciu h : b=h (jak we wskazówce powyżej) c=\sqrt{h^2+h^2}=h\sqrt 2 (Pitagoras) d=e=h (Zielony trójkąt jest równoboczny, gdzie A to środek odpowiedniegio boku) a=\sqrt{(2h)^2-h^2}=\sqrt{3h^2}=h\sqrt 3 . Stąd obwód jest...

Tak, istnieje, bo to odzorowanie ma trzy różne wartości własne. Postać diagonalną ma macierz w bazie wektorów własnych, tych, które wyznaczyłeś. To znaczy jeśli zmontujemy macierz z wektorów własnych (w kolumnach): T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&-i&i\end{pmatrix} to: T^{-1}...

W ostatnim przejściu masz błąd, w wyniku którego w prawym dolnym rogu masz \frac 12 zamiast -\frac 12 . Przy czym dla mnie najprzyjemniejsza definicja macierzy przejścia z bazy A=\{a_i\} do bazy B=\{b_i\} to po prostu macierz M taka, że Ma_i=b_i , lub konkurencyjnie w literaturze niemieckojęzycznej ...

To jest pochodna złożenia funkcji ze wzoru:

\(\displaystyle{ \left(f(g(x))\right)'=g'(x)\cdot f'(g(x))}\)

Dowód faktu opisanego tym wzorem jest standardowy, do znalezienia w niemal każdym podręczniku analizy.

Tu:

\(\displaystyle{ f(x)=e^x}\)

\(\displaystyle{ g(x)=-4(x-1)^2}\).

1.

\(\displaystyle{ \frac 1{z-x}=-\frac 1{x-z}}\).

2.

Chodzi o tożsamość:

\(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)

pozwalającą pozbywać się pierwiastków z wyrażeń algebraicznych. Tu zastosowano dla:

\(\displaystyle{ a=1+\sqrt 2}\)

\(\displaystyle{ b=\sqrt 3}\).

Środek tego okręgu leży na prostej: x=4 bo promień jest prostopadły do stycznej oraz na dwusiecznej danego kąta. Ten kąt ma miarę 60^{\circ} , bo równanie prostej to y=(\tan\alpha)\cdot x , jego połowa ma miarę 30^{\circ} skąd równanie dwusiecznej: y=\tan 30^{\circ} x czyli y=\frac{x}{\sqrt 3} . Wst...

Tu dojście do układu równań powinno zająć 30 sekund: 10 dodawań, 8 mnożeń. Otworzenie nawiasów w kwadratach to 24 dodawania i 16 mnożeń.

Układ równań \begin{cases} (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x+1)^{2}+(y+3)^{2} \\ (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y-6)^{2} \end{cases} jest paskudny. Dwa razy więcej roboty. Często w zagadnieniach z geometrii analitycznej, zanim bezmyślnie wypiszemy układy równań, warto zastosować nieco wiedzy z geometrii syntet...

Najprościej jest chyba naśladować konstrukcję środka okręgu opisanego na trójkącie: 1. Równanie symetralnej odcinka AB : Środek odcinka AB : \left(\frac {-2-1}2,\frac {1-3}2\right)=\left(-\frac {3}2,-1\right) . Wektor prostopadły do symetralnej odcinka AB to np.: A-B=(-1,4) Równanie symetralnej: -x+...

Rozwój matematyki jest w pewnym sensie procesem dokładnie odwrotnym do ewolucji. Wyobraźmy sobie drzewo filogenetyczne, najlepiej takie pełne uwzględniające całą przeszłą i przyszłą historię naturalną. Wówczas odwrócenie takiego drzewa do góry nogami nieźle zobrazuje rozwój matematyki. Wymieraniu od...

\(\displaystyle{ P(\mathbb{N})\ni A\mapsto\chi(A)\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \chi(A)}\) to funkcja charakterystyczna zbioru \(\displaystyle{ A}\).