Matematyka.pl

Nie mogę sobie poradzić z poniższą całką. Próbowałem przez podstawianie, ale chyba nie da rady. Jak się za to zabrać?

\(\displaystyle{ \int x^{3}e^{4x^3+1}dx}\)

Niech (X,d) będize przestrzenią metryczną. Pokazać, że \(\displaystyle{ d_{1}}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ d_{1}(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}}\) też jest metryką.

Chodzi o wyprowadzenie wzoru od lewej do prawej strony

Sprawdzić to ja również potrafię. Ale pytanie brzmi inaczej

Jak wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2}= \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}}\) bez wykorzystania wzorów na sinus i cosinus kątów połówkowych?

O taką odpowiedź mi chodziło. Chciałem sie upewni, że dobrze myślę

W jaki sposób udowodnić wzór na pole trójkąta o danych 3 jego bokach i promieniu okręgu opisanego na tym trójkacie, w przypadku trójkąta rozwartokątnego?
Przypomnę wzór: \(\displaystyle{ P= \frac{abc}{4R}}\).

jak policzyć pochodną funkcji arctg bez użycia funkcji odwrotnych?

W jaki sposób sparametryzować hiperbolę?

Chodzi mi o to, jak do tego zapisu dojść, oczywiście bez opcji zgaduj zgadula

W jaki sposób sparametryzować elpise o równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\) tak, aby punkty elipsy miały współrzędne \(\displaystyle{ x=a\cos t,y=b\sin t}\) ?

Co wspólnego z trygonometrią ma całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{1+x}dx}\)?

A coś więcej mozna z tym szeregiem? No i co to ma wspólnego z trygonometrią?

W jaki sposób za pomocą szeregów lub trygonometrii (lub jednego i drugiego), można uzyskac liczbę \(\displaystyle{ \frac{\pi^ {2} }{6}}\)?

Oto szukany wzór:
\(\displaystyle{ 2^{n-2}+(\sqrt{2})^{n-2}cos(\frac{n\pi}{4})}\).
Wyrażenie wyjściowe można interpretować jako liczebność podzbiorów 4-elementowych zbioru n-elementowego.
Dowód nie jest trudny, ale liczy się pomysł - trochę liczb zespolonych i nie tylko.