Matematyka.pl

jak obliczyć pierwszą całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{2} + 2x + 2 }{\left( x ^{2} + 2x+ 2 \right) ^{2} }dx}\)

Próbowałem za \(\displaystyle{ t}\) podstawić licznik, ale coś mi nie wychodzi.

Z drugą całką sobie poradziłem.

Pierwszą całkę obliczyłem, ale mam problem z drugą.

Podstawiam \(\displaystyle{ t = x+1}\) i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \int \frac{3}{t^2+9}dt}\)

jak to obliczyć?

Ok to idę dalej: \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt = \int \frac{-\left( -t ^{2} + 7t -10 \right)' }{2 \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } + \int \frac{ \frac{11}{2}dt }{ \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } = -\sqrt{-t ^{2} +7t -10 } + \frac{11}{2} \int \frac{dx}{ \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2} - \left( t...

Robię tak, czy idę w dobrym kierunku:

\(\displaystyle{ \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt = \int \frac{-\left( -t ^{2} + 7t -10 \right)' }{2 \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } + \int \frac{ \frac{11}{2}dt }{ \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } }}\)

Liczyć dalej czy już na początku złą metodę obrałem?

Inkwizytor pisze:na początek podstawienie \(\displaystyle{ t=e^x}\)

Ok to mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt}\)

Co mogę zrobić dalej?

Wielkie dzięki za pomoc!

A dlaczego wykładnik dąży do \(\displaystyle{ -2}\)? Bo tego to nie wiem zupełnie

Qń pisze:Wskazówka: podstaw w nawiasie kwadratowym \(\displaystyle{ t=1-x-e^x}\) i zastanów się do czego wtedy dąży \(\displaystyle{ t}\).

Q.

Wtedy mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \left( 1 + t\right) ^{ \frac{1}{t} } = e}\)

Czyli to jest taki wzór?

Qń pisze: Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do \(\displaystyle{ e}\) (dlaczego?)

Właśnie nie wiem, z jakiego wzoru to wynika?

Czy ktoś mógłby sprawdzić moje rozwiązanie: \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x ^{2} } = Ax ^{2} + Bx ^{2} + Bx + Cx + C = \left( A+B\right)x ^{2} + \left( B+C\right)x + C A+B = 0 \Rightarrow A = 1 \\ B+C = 0 \Rightarrow B = -1 \\ C = 1 \int \frac{1}{x+1} + \int \frac{-x+1}{x ^{2} } = \ln \left| x+1\right...

Czy rozkład będzie taki:

\(\displaystyle{ \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x ^{2} }}\)

Czy ktoś ma jakiś pomysł?

Aaa ok mój błąd. Czyli granicą będzie \(\displaystyle{ 0}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ e ^{0} = 1}\)

Ok dzięki, czyli rozwiązaniem będzie, że granica to \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{x} }}\)?

Czyli teraz to muszę wstawić jako wykładnik do liczby \(\displaystyle{ e}\) i rozwiązanie całego zadania z pierwszego posta to:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }\left( \frac{1}{x} \right) ^{ \frac{1}{x} } = e ^{ \frac{2}{ \sqrt{x} } }}\)

chlorofil pisze:A można stosować de'l Hospitala, czy nie?

Niestety nie można ;(