Matematyka.pl

To będzie \(\displaystyle{ O(n\log n)}\). Można to udowodnić przez indukcję. Czyli dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ T(n) \leq c \cdot n \log n}\)
I tę stałą wyznaczasz w kroku indukcyjnym...

Przykładowo, jeśli G ma 5 elementów, to z tw. Lagrange'a każdy jej element ma rząd 1 lub 5 . Skoro istnieje tylko jeden element rzędu 1 w G to istnieje element x\in G o rzędzie 5 .

Wtedy e,x,x^2,x^3,x^4 to parami różne elementy w G , a zatem G=\{e,x,x^2,x^3,x^4\} . Innymi słowy G jest izomorficzna ...

Wzoru jawnego na liczbę takich kombinacji raczej nie uzyskasz, chyba, że dla jakichś konkretnych (małych) parametrów. Natomiast można napisać efektywny program który takie coś potrafi obliczyć, używając programowania dynamicznego.

Nie przyda się.

zmienna long long ma \(\displaystyle{ 64}\) bity, co oznacza, że największa liczba jaką pomieści to \(\displaystyle{ 2^{64}-1}\), musisz zaimplementować własną arytmetykę, jeśli chcesz operować na większych liczbach

Z wnętrza każdego nietrywialnego odcinka można wybrać liczbę wymierną.

Musiałbyś udowodnić, że 2^{\kappa_1}=2^{\kappa_2}\Rightarrow \kappa_1 = \kappa_2 , a to zdaje się nie wynika z ZFC. Ale to może teoriomnogościowcy powinni się wypowiedzieć.


edit: to wyżej chyba nie ma sensu, ale nie będę usuwał
edit2: |\bigoplus_{x \in X} \ZZ|=|X| jeśli tylko |X|\geq \omega , więc ...

Żeby odróżnić skończone \(\displaystyle{ F_k}\) od siebie oraz skończone od \(\displaystyle{ F_{\omega}}\) można użyć argumentu, który przytoczyłeś. Dla \(\displaystyle{ \kappa>\omega}\) mamy \(\displaystyle{ |F_{\kappa}|=\kappa}\), więc już moce odróżniają te grupy...

Rozkład nie jest potrzebny (ani możliwy), ale można zauważyć, że różnica pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami staje się od pewnego miejsca większa niż \(\displaystyle{ 12}\), dlatego wystarczy rozważyć tylko kilka przypadków.

Już została udzielona. Jeśli chodzi Ci o wzór jawny, to czasem istnieje, czasem nie. Nie ma reguły.

Wzór powyżej jest niepoprawny, powinno być \(\displaystyle{ \mu(d)}\)

Można przez indukcję udowodnić, że zbiór:
\(\displaystyle{ \{ \prod_{i\in S}p_i: S\subseteq \{1,2,...,n\}\}}\) jest bazą

Przez indukcję się to robi, trzeba odpowiednio wzmocnić tezę. Jeśli to Twoje pierwsze zadanie z tego tematu, to raczej polecałbym potrenować na czymś prostszym.

"logarithmic derivative" dla \(\displaystyle{ g}\) to taka nazwa dla wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{g'}{g}}\). Powodem takiej nazwy jest:
\(\displaystyle{ (\log g)' = \frac{g'}{g}}\).

Tam chodzi o to, żeby wyrazić \(\displaystyle{ S/R}\) jako funkcję \(\displaystyle{ R'/R}\) i \(\displaystyle{ S'/S}\).