Matematyka.pl

a ile wynosi ta granica?

zbadać zbieżność całki \(\displaystyle{ \ds\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x\,dx}{x+\ln x}}\)

Na upartego, wystarczy położyć tutaj a=-b-c , kiedyś sam nie wierzyłem w prostotę tego sposobu, ale on naprawdę działa w 100% przypadków, tylko jest po prostu syfne. Jeśli chodzi o ładne rozwiązanie, to pewnie trzeba byłoby pomyśleć nad ładnymi lematami. Np a ^{3} + b ^{3} + c ^{3} = 3abc , dla a+b...

Niech \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) Pokaż że
\(\displaystyle{ (\frac{a-b}{c^{2}}+\frac{b-c}{a^{2}}+\frac{c-a}{b^{2}})(\frac{c^{2}}{a-b}+\frac{a^{2}}{b-c}+\frac{b^{2}}{c-a}) = 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}}\)

Niech \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) takie ze \(\displaystyle{ (x+y+z)^3\ge 32xyz}\)
Znaleźć minimum i maksimum wyrażenia
\(\displaystyle{ (x^4+y^4+z^4)(x+y+z)^4}\)

skorzystamy z tego \lim_{x\to 1}\frac{x^{a}-1}{x-1}= a \lim_{n\to\infty}\frac{ \sqrt[7]{n^{7}+n^{5}}-n}{ \sqrt[5] {n^{5}+2n^{3}}-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{7}}-1}{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)-1}\cdot\frac{\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right)-1}{\le...

To niech ktoś ustali zasady, że np zamiast wklejac link nalezy przepiasc "po swojemu" treść z niego

Niech a+b+c=0 Pokaż że
\(\displaystyle{ (\frac{a-b}{c^{2}}+\frac{b-c}{a^{2}}+\frac{c-a}{b^{2}})(\frac{c^{2}}{a-b}+\frac{a^{2}}{b-c}+\frac{b^{2}}{c-a}) = 4abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}}\)

Zuwazmy że abc + bcd + cde + def + efa + fab \le abc + bcd + cde + def + efa + fab + ace + bdf = (a + d)(b + e)(c + f) Teraz (a + d)(b + e)(c + f)\leq\frac {1}{27}((a + d) + (b + e) + (c + f))^3 = \frac {1}{27}(a + b + c + d + e + f)^3 = 8 Rozwiąż równanie 2^{\log_{10}{x}}+8 = (x-8)^{\frac{1}{\log_{...

znów geometria...

Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie równoległobokiem, punkty \(\displaystyle{ E\in (AB)}\) i \(\displaystyle{ F\in (AD)}\) taki że \(\displaystyle{ EF\parallel BD}\) ,

\(\displaystyle{ G\in CE\cap BD , H\in CF\cap BD , P\in FG\cap BC , Q\in EH\cap CD}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA} .}\)

ten problem jest opisany tutaj

Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\) wybieramy losowo bez zwracania k liczb \(\displaystyle{ (k \leqslant n)}\). Oblicz wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą z wylosowanych liczb.

Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ (0,1)}\) od krzywej \(\displaystyle{ xy=x^2+x+1}\)

Wypisujemy kolejno wyrazy ciągu (n_{1},...,n_{k}) , gdzie n_{1}=1000 , zaś n_{j} dla j>1 jest liczbą całkowitą wybraną losowo z przedziału [0,n_{j-1}-1] (wybór każdej liczby z tego przedziału jest jednakowo prawdopodobny). Kończymy wipisywanie, gdy wybrana liczba jest zerem, tzn. n_{k-1} \neq 0,n_{k...

Na powierzchni kuli wybieramy losowo \(\displaystyle{ 4}\) punty. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 4}\) z nich leżą na powierzchni pewnej półkuli?