Niech \(\displaystyle{ F}\) bedzie rodzina podzbiorow zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,n\}}\) taka, ze \(\displaystyle{ |F|=2^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ A,B,C\in F}\) implikuje \(\displaystyle{ |A\cap B\cap C|\neq 0}\). Udowodnic, ze istnieje element nalezacy do kazdego z elementow \(\displaystyle{ F}\).
Weźmy bazę Hamela U dla R rozważanych jako przestrzeń liniowa nad Q . Niech x=\sum U_ia_i i a są w Q . Określmy f,\ g dla elementów bazy tak, żeby f(Ui)+g(Ui)=Ui i f(U_1)=0 , g(U_n)=0 . Jeśli f,\ g będą ponadto liniowe w Q (tzn. f(qx)=qf(x) i g(qx)=qg(x) dla q w Q i x w R ) to f i g będą dobre (bo b...
Elvis pisze:Do rozwiązania binaja: ta wartość przystaje do a_0 modulo p, prawda? Skąd wiemy, że do 1? Poza tym przystawanie do 1 nie musi dawać podzielności przez coś nowego, tylko otrzymanie 1 lub -1.
Wtedy wystarczy wziac wielomian Q(X)=P(X*a_0)/a_0.
Do zadania XMaSa: Mozna indukcyjnie. W kroku rozwazmy takie dwa przypadki: 1) istnieje prosta rownolegla do jednej z osi zawierajaca tylko jeden punkt. Wtedy go usuwamy, dla reszty stosujemy zalozenie indukcyjne i koloujemy "dobrze". Pozniej dodajemy usuniety punkt tak, zeby powstale kolor...
Uwaga do nowego zadania.
Po udowodnieniu tego faktu mozna pokazac, ze \(\displaystyle{ F_n}\) ma dzielnik pierwszy wiekszy niz \(\displaystyle{ 2^{n+2}(n+1)}\) (ale to juz trudniejsze cwiczenie).
Ogolnie liczba takich rozkladow na sume kwadratow dwoch liczb calkowitych liczby n to 4(d_1(n)-d_3(n)) gdzie d1,d3 to liczba dzielnikow postaci 4k+1, 4k+3 (z tym ze liczymy tez rozniace sie trywialnie pary, czyli np (a,b), (b,a), (-a,b), (-a,-b) itp). [edit] Zapomnialem dopisac, ze zeby ten wzor dzi...
Musialbys udowodnic, ze odpowiednio duzo z tych "upchanych okregow" zawiera sie w kolach o promieniach 3/4, a tak byc nie musi byc. Ale spoko z tym co masz i tak wejdziesz do finalu;)
Dumel , rzeczywiscie to nie bylo najladniej napisane (ale o to chodzilo). Mozna po prostu powiedziec, ze losujemy dowolny nieskonczony ciag zero-jedynkowy r i sprawdzamy jakie jest prawdopodobienstwo, ze dany ciag z M jest prefiksem r i dostajemy \sum_{x\in M} \frac{1}{2^{|x|}}\leq 1 co jest rownow...
Lewa strona to suma prawdopodobienstw zdarzen A_k , ze z wszystkich ciagow 0,1 dlugosci k wybieramy ten nalezacy do M. Zdarzenia sa rozlaczne, czyli \sum \frac{m_k}{2^k}=\sum Pr(A_k)\leq Pr(\cup A_k)\leq 1 . ---------------------- Niech f\in Z[X] i stopien f to n\geq 2 . Udowodnic, ze f(f(X))-X=0 ma...
2x_{3n}+1=x_{2\cdot 3n+1}=x_{6n+1}=x_{3\cdot 2n+1}=2x_{2n+1}+2n-1=2(2x_n+1)+2n-1=4x_n+2n+1 , gdzie kolejne rownosci wyniakaja z zastosowania zalozen. Mamy zatem x_{3n}=2x_n+n . Korzystajac z tego otrzymamy 4x_{n+1}+2n-1=2(2x_{n+1}+n-1)+1=2x_{3n+1}+1=x_{6n+3}=x_{3(2n+1)}=2x_{2n+1}+2n+1=2(2x_n+1)+2n+...
Po kilku podstawieniach dostaje sie jedyny (i do tego dzialajacy) ciag \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_n+1}\) (nie bede na razie pisal po jakich podstawieniach, bo moze jeszcze ktos walczy). Jest jakies ladne rozwiazanie, czy zadanie po prostu Ci sie podoba?